Álgebra linear/Formas bilineares e quadráticas: diferenças entre revisões
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Linha 11:
* Produto interno em um espaço vetorial real;
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===Contra-exemplos===
Linha 18:
* <math>f: V \times V \rightarrow K</math>, tal que <math>f(u,v) = 3, \forall u, v \in V</math>;
===Matriz associada a uma forma bilinear===
Sejam <math>f: V \times V \rightarrow K</math> uma forma bilinear, e <math>\alpha = {v_1, v_2, \ldots, v_n}</math> uma base de ''V''.
Linha 39:
onde <math>a_{ij} = f(v_i, v_j) \,</math>
===Formas bilineares simétricas===
Uma forma bilinear <math>g: V \times V \rightarrow K</math> é dita '''simétrica''' se <math>g(u, v) = g(v, u)</math>
'''Proposição''': <math>g: V \times V \rightarrow K</math> é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de ''V''.
==Formas quadráticas==
Dada uma forma bilinear simétrica <math>g: V \times V \rightarrow K</math>, definimos uma função <math>f: V \rightarrow K</math>, definida por <math>f(v) = g(v, v)</math>, chamada de '''forma quadrática''' associada à forma bilinear ''g''.
Note que:
* <math> f(u + v) = f(u) + 2g(u, v) + f(v)</math>
* <math> f(\lambda v) = \lambda^2 f(v)</math>
===Fórmulas de polarização===
As '''fórmulas de polarização''' permitem que, dada a forma quadrática ''f'', se descubra a forma bilinear ''g'' que a originou. Eis duas dessas fórmulas:
* <math>g(u, v) = \frac{1}{4}(f(u+v) - f(u-v))</math>
* <math>g(u, v) = \frac{1}{2}(f(u+v) - f(u) -f(v))</math>
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