Topologia/Grupo livre e apresentação de um grupo: diferenças entre revisões

Passemos agora à construção do grupo mais "livre" gerado por um conjunto <math>X</math>. Informalmente, o que vamos fazer é introduzir no monóide <math>FM(X)</math> os elementos inversos que lhe faltam para ser um grupo. Concretizando um pouco mais, vamos tomar um conjunto <math>\bar X</math> equipotente a <math>X</math>, escolher uma bijecção de <math>X</math> em <math>\bar X</math> e deste modo ficar com uma "associação" entre os elementos de <math>X</math> e os elementos de <math>\bar X</math>. Então encaramos o elemento <math>x_1 \ldots x_n \in FM(X)</math> (com <math>x_1,\ldots,x_n \in X</math>) como tendo o elemento <math>\overline{x_n} \ldots \overline{x_1}</math> (com <math>\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n} \in X</math>) comcomo inverso, onde os <math>x_1,\ldots,x_n \in X</math> estão associados a <math>\overline{x_1} \ldots \overline{x_n}</math>, respectivamente. Notemos que a ordem dos elementos em <math>\overline{x_n} \ldots \overline{x_1}</math> está "invertida" porque o inverso do produto <math>x_1 \ldots x_n = x_1 * \cdots * x_n</math> tem de ser <math>x_n^{-1} * \cdots * x_1^{-1}</math>, e os <math>x_1^{-1},\ldots,x_n^{-1}</math> serão, respectivamente, os <math>\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n}</math>. A forma de fazemos com que <math>\overline{x_n} \ldots \overline{x_1}</math> seja o inverso de <math>x_1 \ldots x_n</math> é tomar uma relação de congruência <math>R</math> que identifica <math>x_1 \ldots x_n \overline{x_n} \ldots \overline{x_1}</math> com <math>1</math>, e passar <math>FM(X \cup \bar X)</math> ao quociente por esta relação (definindo depois nesse quociente, de forma natural, a operação binária do grupo, <math>[u]_R \star [v]_R = [u * v]_R</math>). Ao passarmos ao quociente, estamos a formalizar a ideia intuitiva de identificar <math>x_1 \ldots x_n \overline{x_n} \ldots \overline{x_1}</math> com <math>1</math>, pois no quociente temos a igualdade <math>[x_1 \ldots x_n \overline{x_n} \ldots \overline{x_1}]_R = [1]_R</math>. Passemos então à definição formal.