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* [[Imagem:4de8.svg]] [[/Cap1 Sec 1/]]
==1-1==
* [[Imagem:0de8.svg]] [[/Cap1 Sec 2/]]
Prove que <math> \left \| x \right \| \le \sum_{i=1}^n |x_i| </math>
* [[Imagem:0de8.svg]] [[/Cap1 Sec 3/]]
=== Resolução ===
* Devemos mostrar primeiro que <math> \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \le \sum_{i=1}^n \sqrt{x_i^2} </math>
** Seja <math> (\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2})^2=a_1+a_2+2\sqrt{a_1a_2} \Rightarrow \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}= \sqrt{a_1+a_2+2\sqrt{a_1a_2}} \ge \sqrt{a_1+a_2}, \forall a_1,a_2 \in \mathbb{R}^+ </math>
** Suponha ser verdade que <math> \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_n} \ge \sqrt{a_1+a_2+...+a_n}, \forall a_1,a_2,...,a_n \in \mathbb{R}^+ </math>
** Tome <math> \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}} \ge \sqrt{a_1+a_2+...+a_n} + \sqrt{a_{n+1}} \le \sqrt{a_1+a_2+...+a_n+a_{n+1}}, \forall a_1,a_2,...,a_n, a_{n+1} \in \mathbb{R}^+ </math>
* <math> \left \| x \right \| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \le \sum_{i=1}^n \sqrt{x_i^2} \le \sum_{i=1}^n |x_i| </math>
==1-2==
Quando é que vale a igualdade em <math>\left \| x+y \right \| \le \left \| x \right \| + \left \| y \right \|</math>. Reexamine a prova, a resposta não é "quando x e y são linearmente dependentes".
=== Resolução ===
* Verificar quando é válido que <math>\left \| x+y \right \| = \left \| x \right \| + \left \| y \right \|</math>.
** Tome <math>x = cy, c \in \mathbb{R}, \left \| x+y \right \| = \left \| cy+y \right \| = \left \| (c+1)y \right \| = (|c|+1) \left \| y \right \| = |c|\left \| y \right \| + \left \| y \right \| = \left \| cy \right \| + \left \| y \right \|= \left \| x \right \| + \left \| y \right \|</math>
==1-3==
Prove que <math>\left \| x-y \right \| \le \left \| x \right \| + \left \| y \right \|</math>. Quando a igualdade mantem?
=== Resolução ===
* Verificar que <math>\left \| x-y \right \| \le \left \| x \right \| + \left \| y \right \|, \forall x,y \in \mathbb{R}^n </math>.
** Tome <math>\left \| x-y \right \|^2 = \langle x-y,x-y\rangle = \langle x,x\rangle + \langle x,-y\rangle + \langle -y,x\rangle + \langle -y,-y\rangle = \left \| x \right \|^2 - 2\langle x,y\rangle + \left \| y \right \|^2 \le \left \| x \right \|^2 + 2\left\| x \right \| \left \| y \right \| + \left \| y \right \|^2 = </math> <math> = (\left \| x \right \| + \left \| y \right \|)^2 \Rightarrow \left \| x-y \right \| \le \left \| x \right \| + \left \| y \right \| </math>
* Verificar quando é válido que <math>\left \| x-y \right \| = \left \| x \right \| + \left \| y \right \|</math>.
** Tome <math>y = -cx, c \in \mathbb{R}^+, \left \| x-y \right \| = \left \| x-(-cx) \right \| = \left \| x+cx \right \| = \left \| (1+c)x \right \| = |c+1| \left \| x \right \| = |c|\left \| x \right \| + \left \| x \right \| = \left \| cx \right \| + \left \| x \right \|= </math><math> = \left \| -y \right \| + \left \| x \right \| = \left \| y \right \| + \left \| x \right \|</math>
==1-4==
<math>| \left \| x \right \|-\left \| y \right \|| \le \left \| x-y \right \|, \forall x, y \in \mathbb{R}^n </math>
=== Resolução ===
* <math> \left \| x - y + y \right \| \le \left \| x-y \right \| + \left \| y \right \| \Rightarrow \left \| x \right \| - \left \| y \right \| \le \left \| x-y \right \|, \forall x, y \in \mathbb{R}^n </math>.
* <math> \left \| y \right \| - \left \| x-y \right \| \le \left \| y - (y - x) \right \| \Rightarrow - \left \| x-y \right \| \le \left \| x \right \|-\left \| y \right \|, \forall x, y \in \mathbb{R}^n </math>.
==1-5==
A quantidade <math> \left \| y-x \right \| </math> é chamada a distancia entre x e y. Prove e interprete geometricamente a "inequação triangular": <math> \left \| z-x \right \| \le \left \| z-y \right \| + \left \| y-x \right \|</math>
=== Resolução ===
* <math> \left \| z-x \right \| = \left \| z-y+y-x \right \| = \left \| (z-y)+(y-x) \right \|\le \left \| z-y \right \| + \left \| y-x \right \|</math>
==1-6==
Seja f e g integráveis sobre [a,b]
* Prove que <math> | \int_a^b f \cdot g | \le (\int_a^b f^2)^{1 \over 2} \cdot (\int_a^b g^2)^{1 \over 2}</math>. Dica: Considere separadamente os casos <math> 0 = \int_a^b (f - \lambda g)^2</math> para algum <math> \lambda \in \mathbb{R} </math> e <math> 0 < \int_a^b (f - \lambda g)^2, \forall \lambda \in \mathbb{R} </math>.
* Se a igualdade mantem, deve <math>f = \lambda g</math> para algum <math>\lambda \in \mathbb{R}</math>? Quais de f,g são continuos?
* Mostre que o teorema 1-1(2) é um caso especial de (a).
=== Resolução ===
==1-7==
Uma transformação linear <math>T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> preserva a norma se <math> \left \| T(x)\right \| = \left \| x \right \|</math>, e preserva o produto interno se <math>\langle T(x),T(y) \rangle = \langle x,y \rangle</math>.
* Prove que T preserva a norma se, e somente, se T preserva o produto interno.
* Prove que uma tal transformação linear T é injetiva e a <math>T^{-1} \;</math> é da mesma maneira.
=== Resolução ===
* Se T preserva a norma, então T preserva o produto interno.
** <math> \left \| T(x+y)\right \|^2 = \left \| x+y \right \|^2 \Rightarrow </math>
** <math> \Rightarrow \left \| T(x)+T(y) \right \|^2 = \left \| x+y \right \|^2 \Rightarrow </math>
** <math> \Rightarrow \langle T(x)+T(y),T(x)+T(y) \rangle = \langle x+y,x+y \rangle \Rightarrow </math>
** <math> \Rightarrow \langle T(x),T(x) \rangle + 2\langle T(x),T(y) \rangle + \langle T(y),T(y) \rangle = \langle x,x \rangle + 2\langle x,y \rangle + \langle y,y \rangle \Rightarrow </math>
** <math> \Rightarrow \left \| T(x) \right \|^2 + 2\langle T(x),T(y) \rangle + \left \| T(y) \right \|^2 = \left \| x \right \|^2 + 2\langle x,y \rangle + \left \| y \right \|^2</math>.
** Como T preserva a norma, <math> \left \| T(x) \right \|^2 + \left \| T(y) \right \|^2 = \left \| x \right \|^2 + \left \| y \right \|^2</math>. Então <math> 2\langle T(x),T(y) \rangle = 2\langle x,y \rangle \Rightarrow </math>
** <math> \Rightarrow \langle T(x),T(y) \rangle = \langle x,y \rangle</math>
* Se T preserva o produto interno, então T preserva a norma.
** <math> \langle T(x), T(x)\rangle = \langle x, x\rangle \Rightarrow </math>
** <math> \Rightarrow \left \| T(x)\right \|^2 = \left \| x \right \|^2 \Rightarrow </math>.
** <math> \Rightarrow \left \| T(x)\right \| = \left \| x \right \|</math>
* T é injetiva
** Seja <math>a,b \in \mathbb{R}^n</math>, tal que <math> T(a)=T(b) \Rightarrow T(a)-T(b)=0 \Rightarrow T(a-b)=0 </math>, por ser T linear.
** Mas <math>0 = \left \| 0 \right \| = \left \| T(a-b) \right \| = \left \| a-b \right \| \Rightarrow a-b = 0 \Rightarrow a=b</math>
* <math>T^{-1}</math> é linear
** Seja <math>c \in \mathbb{R}, x=T(a),y=T(b) \in \mathbb{R}^n, T(ca+b)= cT(a)+T(b)=cx+y \Rightarrow T^{-1}(cx+y)=ca+b=cT^{-1}(x)+T^{-1}(y)</math>
* <math>T^{-1}</math> preserva a norma.
** Seja <math>a=T(x), \left \| T(x) \right \| = \left \| T^{-1}(T(x)) \right \| \Rightarrow \left \| T^{-1}(a) \right \| = \left \| a \right \|, \forall a \in \mathbb{R}^n</math>
* <math>T^{-1}</math> é injetiva
** Seja <math>c=T(a),e=T(b) \in \mathbb{R}^n</math>, tal que <math> T^{-1}(c)=T^{-1}(e) \Rightarrow T(c)^{-1}-T(e)^{-1}=0 \Rightarrow T^{-1}(c-e)=0 </math>, por ser <math>T^{-1} \;</math> linear.
** Mas <math>0 = \left \| 0 \right \| = \left \| T^{-1}(c-e) \right \| = \left \| c-e \right \| \Rightarrow c-e = 0 \Rightarrow c=e</math>
==1-8==
Se x,y \in \mathbb{R}^n são não-nulos, o ângulo entre x e y, denotado por <math>\angle (x,y)</math> é definido como arcos <math>{\langle x,y \rangle \over \left \|x \right \| \cdot \left \|y \right \|}</math> o que faz sentido pelo teorema 1-1(2).
=== Resolução ===
==1-9==
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