Matemática elementar/Matrizes: diferenças entre revisões
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== Matrizes ==
=== Conceito ===
Uma matriz <math>A_{m,n} \,\!</math> pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em ''m'' linhas e ''n'' colunas, conforme figura ao lado.
<math>A = \begin{bmatrix}
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* Uma matriz é indicada por uma letra maiúscula.
* Seus elementos são indicados usando a mesma letra, porém minúscula, com a linha e coluna usados como índice (nesta ordem). Assim, o elemento da 3ª coluna na 2ª linha da matriz ''A'' será <math>a_{23}</math>.
Assim, na matriz acima, de 2 linhas e 3 colunas, temos:
<math>a_{11}\ =\ 4,\ a_{12}\ =\ 0,\ a_{13}\ =\ 9</math>
<math>a_{21}\ =\ 1,\ a_{22}\ =\ 7,\ a_{23}\ =\ 3</math>
=== Ordem de uma matriz ===
'''Ordem''' de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É apresentada na notação ''m''×''n'', onde ''m'' é o número de linhas e ''n'' o de colunas. Lê-se "m por n".
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=== Algumas propriedades das operações anteriores ===
Sejam <math>A \,\!</math> e <math>B \,\!</math> matrizes <math>m\times
<math>c (A + B) = cA + cB \,\!</math> e <math>d (cA) = dc (A) \,\!</math>.
E, também, se <math>cA = cB \,\!</math> e <math>c \ne 0\,</math> então <math>A = B \,\!</math>.
=== Matrizes nulas ===
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<math>A = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 5 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}</math> e
<math>B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math>
Veja os cálculos para o exemplo da figura acima.
:<math>c_{11} = 4\cdot 1 + 0\cdot 2 + 5\cdot 1 = 9</math>
:<math>c_{12} = 4\cdot 2 + 0\cdot 5 + 5\cdot 0 = 8</math>
:<math>c_{21} = 1\cdot 1 + 1\cdot 2 + 3\cdot 1 = 6</math>
:<math>c_{22} = 1\cdot 2 + 1\cdot 5 + 3\cdot 0 = 7</math>
=== Ordem dos fatores ===
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Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B. O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A.
Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan).
* 1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1.
* 2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por -1.
* 3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por -2.
* 3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por -3.
* 3ª linha = 3ª linha multiplicada por -1.
* 2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por -1.
E a matriz inversa é a parte da direita.
== Determinantes ==
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