Guia de problemas matemáticos/Teoria dos números/Relação entre quadrados de números

O problema

Se a, b e c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal existe um uníco número de dois algarismos ab tal que (ab)² - (ba)² = (cc)². Então calcule o valor de (a + b + c).

Uma solução

Como ab, ba e cc são números de dois algarismos, podemos escrevê-los da seguinte forma:

ab = 10.a + b

ba = 10.b + a

cc = 10.c + c

Vamos agora substituir esses dados na equação inicial:

(10.a + b)² - (10.b + a)² = (10c + c)²

100a² + 20ab + b² - 100b² - 20ab - a² = 11².c

99a² - 99b² = 11.11.c²

9(a² - b²) = 11c²

9.(a + b).(a - b) = 11c²

Agora, nós temos que observar algumas limitações aqui. Se o enunciado informou que só existe um número ab que satisfaz essa relação, esse número é natural, tal como os outros dois. Sendo assim, não podemos ter números negativos, muito menos fracionários, nesse desenvolvimento. Portanto, se o fator c² está multiplicado por 11, o outro membro da igualdade também deve ser múltiplo de 11 (para obtermos divisões exatas). Como a e b são números de 1 algarismo pertencentes ao sistema decimal de numeração, não será possível obter 11 efetuando (a - b). E ainda mais: b não pode ser maior que a, pois, caso contrário, teríamos um fator negativo, que tornaria a equação impossível no campo dos números reais. Portanto, temos que:

a + b = 11

a > b

Agora, nós podemos ir testando valores para a e b, até chegar ao resultado:

a = 9, b = 2 → c não satisfaz

a = 8, b = 3 → c não satisfaz

a = 7, b = 4 → c não satisfaz

a = 6, b = 5 → c = 3

Portanto, temos que (a + b + c) será igual a 14.

E assim terminamos o problema.

Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.