Introdução à física/Cinemática/Movimento/Movimento de projéteis

"... se um canhão horizontal, numa torre, atira paralelamente ao horizonte, não importa se a carga de pólvora é grande ou pequena, de forma que a bala caia a mil jardas ou a quatro mil ou a seis mil, todos estes tiros levam o mesmo tempo (para atingir o chão) e este tempo é igual ao que a bala levaria da boca do canhão até o solo se caísse diretamente para baixo sem qualquer impulso (i.e. em queda-livre)." Galileu Galilei

Imaginemos um projétil que é lançado com uma velocidade inicial v_o que faz um ângulo $\theta$ com o eixo horizontal e descreve uma trajetória parabólica. Se chamarmos a componente horizontal do vetor velocidade inicial de $v_{o_{x}}$ e a componente vertical de $v_{o_{y}}$ então temos que:

$v_{o_{x}}=v_{o}\cos \theta$
$v_{o_{y}}=v_{o}\sin \theta$

$v_{o_{x}}$ é constante, logo, a aceleração no sentido do eixo x é nula. No sentido do eixo y o movimento é acelerado como a queda-livre, logo, $a=-g$. Sabendo disso, temos que:

$v_{y}=v_{o_{y}}+a\Delta t\Rightarrow v_{y}=v_{o}\sin \theta -g\Delta t$
$v_{x}=v_{o_{x}}\Rightarrow v_{x}=v_{o}\cos \theta$

E também:

$y=y_{o}+v_{o_{y}}t+{\frac {1}{2}}at^{2}\Rightarrow y=v_{o_{y}}t-{\frac {gt^{2}}{2}}\Rightarrow y=v_{o}\sin \theta t-{\frac {gt^{2}}{2}}$
$x=v_{x}t\Rightarrow x=v_{o_{x}}t\Rightarrow x=v_{o}\cos \theta t$

Desparametrizando o tempo (t) na última equação, temos que $t={\frac {x}{v_{o}\cos \theta }}$. Substituindo em y:

${\begin{matrix}y&=&v_{o}\sin \theta \left({\frac {x}{v_{o}\cos \theta }}\right)-{\frac {g}{2}}{\left({\frac {x}{v_{o}\cos \theta }}\right)}^{2}\\\ &=&\tan \theta \times x-{\frac {gx^{2}}{2v_{o}^{2}\cos ^{2}\theta }}\end{matrix}}$ 

A altura máxima do projétil será alcançada no instânte $t_{max}$ em que v_y é nulo. Logo

$v_{y}=v_{o}\sin \theta -gt\Rightarrow t_{max}={\frac {v_{o}\sin \theta }{g}}$
$y_{max}={\frac {v_{o}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}$ 

E como o movimento no eixo y é acelerado podemos dizer que

$v^{2}=v_{o}^{2}+2a\Delta y\Rightarrow v_{y}={\sqrt {v_{o}^{2}\sin ^{2}\theta -2g\Delta y}}$

Podemos também chamar de A o alcance do projétil; e sabendo que ele leva o dobro do tempo que leva até $y_{max}$ para alcançar A

$x=v_{o}\cos \theta t$
$A=v_{o}\cos \theta \times {\frac {2v_{o}\sin \theta }{g}}$
$A={\frac {v_{o}^{2}}{g}}\sin 2\theta$