Introdução à física/Dinâmica/Decomposição de vetores

A decomposição de vetores envolve ângulos relacionados aos vetores.

Decomposição de um vetor

A respeito da direção de um vetor relacionado à trajetória, tem-se os seguintes fatos:

• Se um vetor é paralelo à trajetória, o vetor resultante é equivalente ao próprio vetor;
• Se um vetor é perpendicular à trajetória, o vetor resultante é igual a zero;
• Se um vetor está disposto a ângulos diferentes de 0° ou x90° (para $x\in \mathbb {N}$) em relação à trajetória, deve-se realizar a decomposição do vetor.

Sobre um plano inclinado

Conforme as leis postuladas por Newton, pode-se dizer que:

• Um corpo de massa m possui força peso igual a mg (segunda lei de Newton);
• A uma superfície em que um corpo aplica uma força, será aplicada uma força contrária de igual intensidade (terceira lei de Newton).

Como a força peso (W na imagem) é aplicada pela Terra, esta estará sempre direcionada ao centro do planeta. Portanto, em tais casos, a força peso não é totalmente aplicada na superfície, e parte dela gera movimento, geralmente fazendo os corpos escorregarem. Assim, para se calcular a força que é aplicada na superfície, deve-se considerar um vetor perpendicular ao plano (mgcosθ no diagrama abaixo). Já a força resultante, deve-se considerar um vetor paralelo ao plano (mgsinθ no diagrama).

Temos, então, pela simplificação de mg = P:

$F_{R}=P\sin \theta$

$N=P\cos \theta$

Onde:

• F_R é a força resultante (paralela à superfície) e que geralmente provoca movimento;
• P é a força peso (direcionada ao centro do planeta), equivalente a mg (produto da massa pela aceleração gravitacional);
• N é a força aplicada na superfície (perpendicular à superfície), denominada normal.

Aplicando a terceira lei de Newton, aliada às leis da geometria, a seguinte equação é verdadeira:

$P={\sqrt {(P\sin \theta )^{2}+(P\cos \theta )^{2}}}$

E então,

$P={\sqrt {N^{2}+F_{R}^{2}}}$

Para os ângulos, temos duas fórmulas que podem ser usadas:

$\theta =\arcsin {\frac {F_{R}}{P}}$

$\theta =\arccos {\frac {N}{P}}$

Demonstração

Um objeto de massa 10 kg é abandonado em uma superfície perfeitamente lista, e que forma o ângulo de 45° com a superfície. Dados: g = 10; cos45° = 0,5√2; sen45° = 0,5√2.

• a) Qual a força que o objeto exerce sobre a superfície?

$N=P\cos \theta \to 100\times 0,5{\sqrt {2}}\Rightarrow 70,7\ newtons$

• b) Qual a força resultante?

Pode ser dada por:

$F_{R}=P\sin \theta \to 100\times 0,5{\sqrt {2}}\Rightarrow 70,7\ newtons$

E como já se sabe o valor de N, pode-se resolver também por:

$P={\sqrt {N^{2}+F_{R}^{2}}}\to 100={\sqrt {70,7^{2}+F_{R}^{2}}}\to 10000=5000+F_{R}^{2}\to 5000=F_{R}^{2}\Rightarrow 70,7\ newtons$

• c) Qual a aceleração do objeto?

$F_{R}=m\times a\to 70,7=10a\to a={\frac {70,7}{10}}=7\ m/s^{2}$

Para resultante angular

Já no caso de se ter o vetor (A) em um sentido, mas o vetor resultante (R) é angular (ou vice-versa), pode-se usar uma das fórmulas abaixo. Esses casos não ocorrem necessariamente em um plano inclinado.

$R=A\cos \theta$	$R=A\sin \alpha$
E com o vetor A em evidência:
$A=R\arccos \theta$	$A=R\arcsin \alpha$
Se o ângulo for desconhecido:
$\theta =\arccos {\frac {R}{A}}$	$\alpha =\arcsin {\frac {R}{A}}$

Pode-se considerar, também:

$\theta +\alpha =90$

Demonstração

• a) Em um sistema isolado, um objeto encontra-se encostado a uma rampa perfeitamente lisa, que forma ângulo de 60° com a superfície. Tal objeto adquire energia cinética equivalente a 10 joules, e se move na direção da rampa. Considerando o cosseno de 60 igual a 0,5, qual a energia cinética aproveitada (resultante)?

$R=10\times 0,5\Rightarrow 5\ joules$

Decomposição de dois vetores

Pela terceira lei de Newton, podemos ter as seguintes conclusões a respeito de um ângulo em um vetor:

• Se dois vetores estão na mesma direção e sentido, eles se somam;
• Se dois vetores estão dispostos a 180° um do outro, subtrai-se os valores dos respectivos vetores.
• Se dois vetores estão dispostos a ângulos diferentes de 0° ou 180°, utiliza-se a regra do paralelogramo.

Vetor resultante

Pela imagem a seguir, analise a presença de dois vetores, A e B, e de um ângulo α entre estes.

O vetor resultante é dado pela regra do paralelogramo:

$R={\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos \alpha }}$

E caso se deseje o ângulo:

$\alpha =\arccos {\frac {R^{2}-(A^{2}+B^{2})}{2AB}}$

Quando A = B, e α = 90°, pode-se utilizar uma versão mais simples para a resultante:

$R=A{\sqrt {2}}$

Demonstração

Sobre um objeto, atuam duas forças simultâneas, uma de 2 newtons e outra de 3 newtons. Entre as forças, está um ângulo de 60°. Qual a força resultante? Considere cos 60 = 0,5.

Solução:

$R={\sqrt {2^{2}+3^{2}+2\times 2\times 3\times 0,5}}$

$R={\sqrt {4+9+6}}$

$R={\sqrt {19}}$

$R\cong 4,35\ newtons$

Ângulo resultante

Consideraremos como ângulo resultante (θ) o ângulo entre o vetor resultante (R) e o vetor A. Pode ser descoberto pela seguinte fórmula:

$\theta =\arcsin {\frac {B\sin(180-\alpha )}{R}}$

Quando A = B, pode-se descobrir o ângulo da resultante, também, por:

$\theta ={\frac {\alpha }{2}}$

Vetor em evidência

Você já viu o modo em que se deixa R, α e θ em evidência. Mas como deixar A ou B em evidência? Através da lei dos senos, chegaremos a uma das seguintes fórmulas:
$A=R{\frac {\sin(\alpha -\theta )}{\sin(180-\alpha )}}$	$A=B{\frac {\sin(\alpha -\theta )}{\sin \theta }}$	$B=R{\frac {\sin \theta }{\sin(180-\alpha )}}$	$B=A{\frac {\sin \theta }{\sin(\alpha -\theta )}}$

E caso A = B e α = 90:

$A={\frac {R}{\sqrt {2}}}$

Demonstração

Atuam em um corpo duas força (A e B) simultaneamente e no mesmo plano. Tais forças estão dispostas a 60° uma da outra, e a resultante (equivalente a 10 newtons) está disposta a 30° da força A. Qual a intensidade da força A? Considere o seno de 30° igual a 0,5 e o seno de 120° igual a 0,5 √3.

$A=10{\frac {\sin(60-30)}{\sin(180-60)}}\to 10{\frac {0,5}{0,5{\sqrt {3}}}}\Rightarrow {\frac {10}{\sqrt {3}}}$

Decomposição de vários vetores

Por fórmulas conjuntas

Quando temos vários vetores, devemos aplicar as fórmulas anteriores conjuntas. Na figura acima, temos três vetores (A, B e C). Para descobrirmos a resultante dos três vetores, consideraremos, primeiramente, dois vetores (A e B) e calculemos a resultante destes (R₁ na figura). Depois, consideremos R₁ como um vetor e calculemos a resultante com C, e finalmente obteremos o resultado. Como usaremos incógnitas para o problema, as fórmulas a seguir, podem, sim, serem utilizadas para qualquer valor, desde que haja três vetores.

• I - A resultante de A e B, R₁, é dada por:

$R_{1}={\sqrt {A^{2}+B^{2}+2AB\cos \alpha }}$

• II - Utilizando I, podemos descobrir o ângulo da resultante R₁ (θ):

$\theta =\arcsin {\frac {B\sin(180-\alpha )}{R_{1}}}$

• III - Descubramos o ângulo que R₁ faz com C:

$A_{R_{1}-C}=\alpha -\theta +\psi$

• IV - Consideraremos R₁ como vetor, e calculemos a resultante total com C (utilizando o ângulo em III):

$R={\sqrt {R_{1}^{2}+C^{2}+2R_{1}C\cos A_{R_{1}-C}}}$

E esta é a resultante dos vetores.

Demonstração

Sobre um objeto são aplicadas três forças simultâneas, A, B e C, de módulos 6, 10 e 16 newtons, respectivamente. O ângulo que A forma com B é equivalente a 60°, enquanto que B forma ângulo de $\arcsin {\frac {5{\sqrt {3}}}{14}}$ graus com C. Qual a resultante das forças? Considere o cosseno de 60° igual a 0,5, e o seno de 120° a ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

• I) $R_{1}={\sqrt {36+100+2\times 6\times 10\times 0,5}}\Rightarrow 14$
• II) $\theta =\arcsin {\frac {10\sin(180-60)}{14}}\to \arcsin {\frac {10{\frac {\sqrt {3}}{2}}}{14}}\Rightarrow \arcsin {\frac {5{\sqrt {3}}}{14}}$
• III) $A_{R_{1}-C}=60-\arcsin {\frac {5{\sqrt {3}}}{14}}+\arcsin {\frac {5{\sqrt {3}}}{14}}\Rightarrow 60$
• IV) $R={\sqrt {196+256+2\times 14\times 16\times 0,5}}\Rightarrow 26$

Assim, a resultante das forças é 26 newtons.

Pelo teorema de Lammy

Pelo teorema de Lammy, se tem um metódo muito prático para cálulo. Este é utilizado para o equilíbrio dos corpos rígidos. Neste, se faz o uso da lei dos senos. Veja, abaixo, seu funcionamento. Utilizaremos as mesmas incógnitas que o caso acima.

${\frac {A}{\sin \psi }}={\frac {B}{\sin(360-\alpha -\psi )}}={\frac {C}{\sin \alpha }}$

Você deve notar que:

• Não há resultante no cálculo, logo, este teorema somente deve ser aplicado quando R = 0;
• Como o teorema é baseado na lei dos senos, é inadimissível haver determinada quantidade de vetores, senão três.

Aplicação na dinâmica

A decomposição de vetores é essencial na maioria de questões de dinâmica. Para que se consiga uma relação que obedeça a terceira lei de Newton, geralmente se decompõe as forças na mesma direção da aceleração ou perpendicular a ela, por simplicidade de cálculos, pois caso contrário, seria necessário decompor também a aceleração.

Exercícios

Você pode fazer exercícios sobre decomposição de vetores clicando aqui.