Introdução à física/Velocidade/Exercícios

1) No ano x, houve a previsão de que a Terra se alinharia com Júpiter no dia 9 de abril do mesmo ano. Já às duas horas da madrugada do dia 1° de janeiro do ano x, os planetas Terra e Júpiter estavam perfeitamente perpendiculares entre si. Naquele mesmo instante, um observador notou um asteroide a α graus de Júpiter. O asteroide estava sendo atraído pelo campo gravitacional do sol, à velocidade constante de 40 km/s (VA). Pelos cálculos do observador, antes que o asteroide atingisse o sol, ele sofreria uma colisão com Júpiter, no dia 25 de janeiro do mesmo ano, às duas horas da madrugada. Desconsiderando a excentricidade e inclinação da eclíptica dos planetas, ou qualquer influência da gravidade de outros corpos celestes, qual o valor de α? Considere que a Terra e Júpiter movem-se a velocidades constantes.

Para resolver o exercício, utilize uma calculadora e considere os seguintes dados:

  • Velocidade da Terra (VT)= 30 km/s;
  • Velocidade de Júpiter (VJ)= 13 km/s;
  • Distância entre a Terra e o Sol (DT-S)= 1,5 x 108 km;
  • Distância entre Sol e Júpiter (DJ-S)= 8 x 108 km;
  • Deslocamento da Terra em um ano sideral (S.AT)= 2 x π x 1,5 x 108 km;
  • Deslocamento de Júpiter em um ano sideral (S.AJ)= 2 x π x 8 x 108 km.


Resposta

A imagem não está em escala.
  • Primeiramento, transformemos o tempo em que o observador avistou o asteroide ao da colisão em segundos:
[ I ] -
  • Agora, calculemos o deslocamento de Júpiter durante o período, em quilômetros e em graus, nos baseando em VJ, [ I ] e S.AJ.
[ II ] -
( I ) -

( II ) -
  • Depois, saibamos a distância percorrida pelo asteroide durante o período, utilizando (VA).
[ III ] -
  • Em seguida, deve-se descobrir a distância entre o asteroide e o sol, visto que a trajetória do asteroide no momento da colisão (SA) formou uma linha imaginária perfeitamente alinhada ao raio de Júpiter com o sol (DJ-S), logo, precisaremos do resulado de [ III ].
[ IV ] -
  • Calculemos a distância entre a Terra e o asteroide pela lei dos cossenos, em base de [ IV ], DT-S e [ II ]:
[ V ] -
  • Vejamos a corda do deslocamento de Júpiter, dada por DJ-S e [ II ]:
[ VI ] -
  • Saibamos o ângulo que DJ-S, faz com WJ, para o cálculo em [ VIII ]. Como trata-se de um triângulo isóceles, dois de seus ângulos são exatamente iguais, e partindo de que a soma dos ângulos internos de todo triângulo tem a soma de 180°, subtraiamos [ II ]:
[ VII ] -
  • Precisamos calcular o ângulo que WJ faz com a trajetória do asteroide. Como DA-S é uma reta perfeita, a qualquer transversal a soma dos ângulos será 360°. ADj-s.W-j e AW-j.Sa são então, ângulos suplementares:
[ VIII ] -
  • Agora devemos calcular a distância entre Júpiter e o asteroide, novamente pela lei dos cossenos. Utilizaremos [ VI ], [ III ] e [ VIII ], como arestas e ângulo:
[ IX ] -
  • Descubramos DT-J por meio de DT-S e DJ-S, através do teorema de Pitágoras:
[ X ] -
  • Descubramos o ângulo α, por meio da lei dos cossenos. Faremos o uso de [ X ], [ V ] e [ IX ]:
[ XI ] -