Introdução aos Processos da Engenharia Química/Algarismos Significativos

Importância dos Algarismos Significativos

Algarismos significativos são uma parte importante dos cálculos matemáticos e científicos pois lidam com a precisão e acurácia das medidas. É importante estimar a incerteza no resultado final, e nesta necessidade torna os algarismos significativos importantes.

Precisão e Acurácia

Antes de discutir como lidar com algarismos significativos, deve-se compreender o que são precisão e acurácia em relação aos experimentos científicos e engenharia. Precisão refere-se à reprodutibilidade dos resultados e medidas em um experimento, enquanto que acurácia refere-se apenas o quão próximo o valor está do valor real ou verdadeiro da grandeza. É importante ressaltar que as duas definições não estão condicionadas uma à outra. Os resultados podem ser tanto precisos ou acurados, nenhum dos dois, preciso e não acurado e vice-versa. A validade dos resultados aumentam com maior precisão e acurácia.

É usada o exemplo do alvo como uma analogia útil para marcar bem as diferenças entre precisão e acurácia. A mosca do alvo representa o valor real enquanto que os buracos feitos por cada disparo (cada tentativa) representam a validade.

alta precisão, mas sem acurácia
Alta acurácia, mas sem precisão

Como a imagem acima mostra, o primeiro tem muitos buracos em uma pequena área. A pequena área representa a precisão do experimento embora pareça existir um problema no experimento, possivelmente relacionado com o erro sistemático ao invés do erro randômico (ou aleatório). A segunda imagem representa um experimento com acurácia e sem precisão. Os buracos perto da mosca não se "tocam". O problema é que estão espalhados. Isto pode ser relacionado com o erro randômico, sistemático ou com o descuido ao se fazer as medidas.

Computando Algarismos Significativos

Existem três regras preliminares para computar os algarismos significativos. Elas lidam com algarismos não zeros, zeros e número exatos.

1) Algarismos não zero - Todos os algarismos não zero são considerados algarismos significativos.

2) Zeros - existem três tipos diferentes de zeros

zeros à esquerda - zeros que precedem os dígitos - não contam como algarismos significativos (exemplo: 0,003 tem apenas um algarismo significativo)
zeros cativos - zeros que estão entre dois algarismos significativos - contam como algarismos significativos (exemplo: 109,902 tem seis algarismos significativos)
zeros à direita - zeros que estão ao fim de uma sequência de números - apenas conta como algarismo significativo se for uma casa decimal.(exemplo: 100 tem um algarismo significativo, enquanto 1,00 tem três assim como 100,)

3) Números exatos - são os números que não são obtidos através de medidas e sim através de contagem. Um exemplo disso seria alguém contar os milímetros em um centímetro (10) ou contar o número de ovos necessários para fazer um bolo, como 3 ovos. Estes números tem infinitos algarismos significativos.

Exemplo:

A Parábola do Bloco de Cimento

Pessoas novas no campo de engenharia ou então ciências geralmente questionam a importância dos algarismos significativos. Eles tem uma grande importância prática, já que são usados para dizer o quão preciso um número é. Colocar muitos algarismos significativos pode não apenas tornar a leitura dos números mais difícil, mas também pode trazer sérias consequências negativas.

Como uma anedota, imagine que dois engenheiros trabalham para uma empresa de construção. Eles precisam pedir blocos de cimento para construir uma parede que é larga 10 ft (pés), e planejam fazer a base com 30 blocos. O primeiro engenheiro não considera a importância dos algarismos significativos e calcula que os blocos precisam ter 0,3333 ft de diâmetro e o segundo considera a importância e calcula a largura de 0,33, considerando que a precisão de $\pm 0,01ft$ (0,1 polegadas) seria precisa o suficiente para o trabalho que eles estavam fazendo.

Agora, quando a empresa de cimento recebeu o pedido do primeiro engenheiro, eles tiveram um grande problema. As máquinas deles não eram precisas o suficiente para cortar os blocos com uma certeza de 0,0001 ft. Entretanto, após algumas tentativas e erros de testes, e além do desperdício de material que não atendia a especificação, eles finalmente fabricaram todos os blocos necessários. Os pedidos do outro engenheiro foram muito mais fáceis e geraram muito menos resíduos.

Quando os engenheiros receberam as contas e as compararam, o primeiro engenheiro teve um choque ao sabe o quando o seu pedido custara. Quando os engenheiros consultaram a empresa de cimento, receberam a explicação: eles precisaram de uma precisão tão alta para o pedido do primeiro engenheiro que eles precisaram de mais trabalhadores para atingir a especificação, assim como mais material, assim foi muito mais custoso produzir.

Qual é a moral da história? Algarismo significativos tem importância. É importante ter uma noção de quão preciso um número é para que saber não apenas o número, mas também o quão confiável e limitado ele é. O engenheiro terá de fazer decisões em como ele/ela vai fazer especificações, e também determinar o quão preciso vão ser os instrumentos de medida (e sistemas de controle) devem ser. Se você não precisa de 99,9999% de pureza, então provavelmente você não precisa de ensaio para detectar impurezas a um grau de 0,0001% (muito embora existam algumas técnicas que consigam chegar a esta precisão), e também você não terá de projetar colunas de destilação tão grandes para atingir esse grau de pureza.

Operações Matemáticas e Algarismos Significativos

Direto ao ponto, os números obtidos nas medidas serão utilizados para outras operações matemáticas. O que fazer quando cada um dos números tem quantidades diferentes de algarismos significativos? Se alguém adicionar 2,0 litros de líquido com 1,0000234, quanto seria o resultado final? E que tal pensar em 2,45 vezes 233,5?

Para adição e subtração, o resultado tem o mesmo número de casas decimais da medida menos precisa usada nos cálculos. Isto significa que 112,40817039 + 5,2170987 + 1,4 terá de ter apenas uma única casa decimal, mas se pode haver qualquer quantidade de dígitos à esquerda da vírgula (neste caso a resposta é 119,0).

Para multiplicação e divisão, o número de algarismos significativos é o mesmo do número menos preciso, isto significa que 5,0000 divido por 2,5 terá o valor de 2,0.

Arredondamento

Agora que você já sabe como lidar com os números se houver uma questão a respeito dos algarismos significativos, mas é necessário também considerar os arredondamentos. Uma vez que alguém decida que um dígito deve ser o último, este alguém deve decidir se arredonda para cima ou para baixo.

Se o número anterior à casa de interesse é maior que 5 (6 a 9), se arredonda para cima - 1,37 torna-se 1,4

Se o número anterior à casa de interesse é menor que 5 (1 a 4), se arredonda para baixo - 1,12 torna-se 1,1

Existem controvérsias a respeito de como arredondar o caso o anterior à casa de interesse for cinco. Uma das maneiras possíveis é:

Se o número de interesse for par, arredonda-se para baixo - 1,45 torna-se 1,4

Se o número de interesse for ímpar, arredonda-se para cima - 1,55 torna-se 1,6

Outro caso é este: 1,4501, quando os números após o cinco são maiores de zero, pode-se aproximar para 1,5.

Atenção: Lembre-se que arredondamentos devem ser feitos apenas quando não se fará mais cálculos com os números a serem arredondados, ou seja, só se faz no fim dos cálculos

Por que isto é feito? Engenheiros fazem cálculos que costumam importar, desde que tempo, dinheiro e outras coisas são colocadas em consideração. É melhor estar certo de que os resultados finais não sintéticos ou não reais. Isto retoma os conceitos de acurácia e precisão.