Lógica/Cálculo Quantificacional Clássico/Constantes, Variáveis e Quantificadores

Constantes individuais e de predicados

Constantes são coisas que tem sempre o mesmo valor dentro de um sistema. Por exemplo, o valor de $\pi \,\!$ é sempre o mesmo, seja na fórmula do comprimento da circunferência ($\mathrm {C} =2\pi r\,\!$), seja na fórmula da área do círculo ($\mathrm {A} =\pi r^{2}\,\!$), qualquer que seja o valor de $r\,\!$. No CQC teremos dois tipos de constantes: constantes individuais e constantes de predicado.

As constantes individuais, evidentemente, são indivíduos: Aristóteles, Gödel, João, Maria, o gato do vizinho, o irmão do Pedro etc. Estes são designados por letras do alfabeto romano minúsculas: $a\,\!$, $b\,\!$, $c\,\!$, $d\,\!$, $e\,\!$... . Evitando usar as letras $x\,\!$, $y\,\!$ e $z\,\!$, que são canonicamente usadas como variáveis, como será falado adiante. Também é lícito usar números juntamente com as letras. Ex: $m_{1}\,\!$ para designar “Maria Silveira” e $m_{2}\,\!$ para designar “Maria Oliveira”.

As constantes de predicados são atributos que podem ser predicados às constantes individuais, ex: “...é filósofo”, “...é matemático”, “...está correndo”, “...é bela”, “...matou aula hoje”, “...escreve livros” etc. Estes são designados por letras do alfabeto romano maiúsculas: $A\,\!$, $B\,\!$, $C\,\!$, $D\,\!$, $E\,\!$ etc.

Uma constante isolada não consiste numa fórmula. Afinal, “Aristóteles”, “Gödel”, “...é matemático”, “...é filósofo” e coisas do gênero não podem ser valoradas como verdadeiras ou falsas.

Contudo, é claro que sentenças formadas por estas constantes – “Aristóteles é matemático”, “Gödel é matemático”, “Aristóteles é filósofo” e “Gödel é filósofo” – são valoráveis como verdadeiro ou falso. Ou seja, são proposições. Para representá-las, basta colocar as constantes individuais à direita das constantes de predicado (podendo estar sub-escritas ou não). Assim, se $g\,\!$ significa “Gödel”, $a\,\!$ significa “Aristóteles”; $M\,\!$, “...é matemático” e $F\,\!$, “é filósofo”; então $Mg\,\!$ significa “Gödel é matemático”; $Ma\,\!$, “Aristóteles é matemático”; $Fg\,\!$ significa “Gödel é filósofo” e $Fa\,\!$, “Aristóteles é filósofo”. Constantes individuais atribuídas a uma constante de predicado consistem numa fórmula atômica do CQC. E podemos usar todos operadores do CPC com elas. Por exemplo, usando as mesmas constantes acima, podemos construir as fórmulas:

$\neg Ma$

“Aristóteles não é matemático”.

$Fa\land Mg$

“Aristóteles é filósofo e Gödel é matemático”.

$Fa\lor Ma$

“Aristóteles é filósofo ou matemático”.

$Fg\to Mg$

“Se Gödel é filósofo, então Gödel é matemático”.

$Mg\leftrightarrow Ma$

“Gödel é matemático se e somente se Aristóteles é matemático”.

Voltando a tratar de fórmulas atômicas, estas podem ter mais de uma constante individual, quando se atribui a um indivíduo uma propriedade em relação a outro indivíduo. Por exemplo, digamos que vamos formalizar a sentença “João beijou Maria”. Teremos as constantes individuais j (para João) e m (para Maria), e a constante de predicado B para “...beijou...”. A fórmula fica então: $Bjm\,\!$.

Poderíamos formalizar isto de outra forma, considerando a constante de predicado B como “...foi beijado(a) por...”. A fórmula fica então: $Bmj\,\!$.

Em algumas circunstâncias, é possível sermos econômicos e poupar as fórmulas de constantes individuais. Por exemplo, digamos um sistema no qual só a Maria é beijada e tudo que Maria faz é ser beijada. Então podemos considerar a constante B como “...beijou Maria”. A sentença “João e Pedro(p) beijaram Maria” fica assim: $Bj\land Bp$.

Por fim, é lícito usar letras sentenciais para expressar orações sem sujeito, por exemplo: $C\!\,$ para “Está chovendo”. Assim podemos formalizar uma proposição como “Se está chovendo, então Maria não saiu de casa” assim: $C\to \neg Sm$. Sendo $S\,\!$ a constante de predicado “...saiu de casa”.

Variáveis individuais e Quantificadores

Até agora o que vimos não distingue muito o CQC do CPC. Todos os esquemas de fórmulas tautológicas no CPC tem instâncias de fórmulas universalmente válidas no CQC, por exemplo: $Pa\to Pa$, $\neg \left(Rb\land \neg Rb\right)$, $Fd\lor \neg Fd$ etc. Também, os mesmos argumentos que são válidos no CPC também são válidos no CQC, por exemplo: $Pa\vDash Pa$, $\left\{Ab\to Cd,Ab\right\}\vdash \mathrm {Cd}$ etc.

Contudo, ainda não temos o suficiente para formalizar sentenças como “Alguém comeu a última fatia de bolo”. Os recursos usados para tal são o diferencial do CQC em relação ao CPC.

Analisemos a sentença citada acima. “Alguém” significa algum indivíduo indeterminado do sistema em questão. Digamos que o sistema seja uma família de três indivíduos: Brian ($b\,\!$), Lisa ($l\,\!$) e Brian Júnior ($j\,\!$). Neste caso, sendo $C\,\!$ a constante de predicado “... comeu a última fatia de bolo”, a sentença poderia ser formalizada assim: $Cb\lor Cl\lor Cj$.

Contudo, a quantidade de constantes individuais pode ser tão grande que isto se torna impraticável, por exemplo: “Alguns brasileiros cursam o Ensino Superior”. Neste caso, há milhões de constantes individuais. Poderia até ser infinita, como “alguns números naturais são pares”. E ainda há sistemas nos quais não há informação sobre o número de constantes individuais. Portanto, serão usadas variáveis para representar estes indivíduos indeterminados.

Mas só a adição de variáveis não é suficiente. Vejamos o sistema da família de três indivíduos. Digamos que neste sistema tenhamos a seguinte sentença: “Todos estão assistindo TV”. Sendo $A\,\!$ a constante de predicado “...está assistindo TV”, neste caso poderíamos fazer assim: $Ab\land Al\land Aj$. Mais uma vez, esta solução é impraticável caso haja um número muito grande ou infinito de constantes individuais ou não haja informação sobre este número. Portanto, serão usadas variáveis nestes casos também. Assim, se faz necessário algo para diferenciar “Alguns As são Bs” de “Todo A é B”. Isto é feito com os quantificadores. Existem dois quantificadores no CQC: universal ($\forall$) e existencial ($\exists$). Funcionam assim:

Sendo $x\,\!$ uma variável individual,

$\forall x\left(Px\right)$ significa “Para todo $x\,\!$, $P\,\!$ é predicado de $x\,\!$”.

$\exists x\left(Px\right)$ significa “Existe algum $x\,\!$, tal que $P\,\!$ é predicado de $x\,\!$”.

Os quantificadores não são funções de verdade. Não é possível chegar ao valor de verdade de $\forall x\left(\alpha \right)$ ou $\exists x\left(\alpha \right)$ a partir do valor de $\alpha \,\!$.

Tudo isto amplia a definição de fórmula:

Se $x\,\!$ é uma variável e $\alpha \,\!$ é uma fórmula onde $x\,\!$ ocorre, então $\forall x\left(\alpha \right)$ e $\exists x\left(\alpha \right)$ são fórmulas gerais.

Expressão de Sentenças

Agora vejamos como expressar sentenças com quantificadores no sistema CQC.

“Toda espécie de mamífero é produtora de leite”.

Não podemos usar o sujeito da sentença como constante individual. Afinal, não se trata de um indivíduo, mas de um conjunto de indivíduos. Precisaremos usar uma variável ($x\,\!$) e um quantificador, no caso, o universal. Vamos usar $M\,\!$ para “... é espécie de mamífero” e $L\,\!$ para “... é produtor de leite”. A fórmula fica:

$\forall x\left(Mx\to Lx\right)$

Ou seja: Para todo $x\,\!$, se $x\,\!$ é espécie de mamífero, então $x\,\!$ é produtor de leite.

Formalizemos agora a sentença “Alguns animais marítimos são espécies de mamíferos”. Usando $A\,\!$ para “...é animal marítimo”, a fórmula fica:

$\exists x\left(Ax\land Mx\right)$

Ou seja: Existe algum $x\,\!$, tal que $x\,\!$ é animal marítimo e $x\,\!$ é mamífero.

Vejamos como formalizar uma sentença onde aparece a palavra “nenhum”, tal como “Nenhum mamífero respira debaixo d’água”. Sendo $R\,\!$ a constante de predicado “...respira debaixo d’água”, a fórmula fica:

$\forall x\left(Mx\to \neg Rx\right)$

Ou seja: Para todo $x\,\!$, se $x\,\!$ é mamífero, então $x\,\!$ não respira debaixo d’água.

A sentença também pode ser formalizada assim:

$\neg \exists x\left(Mx\land Rx\right)$

Ou seja: Não existe algum $x\,\!$, tal que $x\,\!$ é mamífero e $x\,\!$ respira debaixo d’água.

$\forall x\left(Mx\to \neg Rx\right)$ é equivalente a $\neg \exists x\left(Mx\land Rx\right)$.

Vejamos como formalizar uma sentença com variável e constante individual, como, “Se todos garotos da rua beijaram Maria, então o namorado de Maria ficará furioso”. As constantes individuais são: “Maria” ($m\,\!$) e “namorado de Maria” ($n\,\!$). As constantes de predicado são: “...é garoto da rua” ($G\,\!$), “...beijou...” ($B\,\!$) e “...ficará furioso” ($F\,\!$). A fórmula fica assim:

$\forall x\left(Gx\to Bxm\right)\to Fn$

Ou seja: Para todo $x\,\!$, se $x\,\!$ é garoto da rua implica que $x\,\!$ beijou Maria, então o namorado de Maria ficará furioso.

Repare que $\forall x\left(Gx\to Bxm\right)$ é subfórmula de $\forall x\left(Gx\to Bxm\right)\to Fn$. Ou seja, uma subfórmula pode ser geral (conter um quantificador) e nada impede de uma fórmula conter várias subfórmulas gerais. Por exemplo, acima foi dito que $\forall x\left(Mx\to \neg Rx\right)$ é equivalente a $\neg \exists x\left(Mx\land Rx\right)$. Portanto, são fórmulas válidas:

$\forall x\left(Mx\to \neg Rx\right)\leftrightarrow \neg \exists x\left(Mx\land Rx\right)$.

$\forall x\left(Mx\to \neg Rx\right)\to \neg \exists x\left(Mx\land Rx\right)$.

$\neg \exists x\left(Mx\land Rx\right)\to \forall x\left(Mx\to \neg Rx\right)$.

Veremos mais adiante como verificar se uma fórmula é válida.

E é claro que não apenas fórmulas válidas podem ter subfórmulas gerais.

Uma fórmula geral também pode ter mais de um quantificador. Ex:

“Todos que são ingênuos são enganadas por alguns que não tem escrúpulos”.

Usando a notação: $I\,\!$: “... é ingênuo(a)”, $E\,\!$: “... é enganado(a) por...” e $D\,\!$: “... tem escrúpulos”; temos a fórmula:

$\forall x\exists y\left(\left(Ix\land \neg Dy\right)\to Exy\right)$

Ou seja: Para todo $x\,\!$, existe algum $y\,\!$, tal que se $x\,\!$ é ingênuo e $y\,\!$ não tem escrúpulos; então $x\,\!$ é enganado por $y\,\!$.

Vejamos um exemplo que tenha dois quantificadores universais:

“Se uma pessoa é empregada da outra, então esta é patrão dessa”.

Usando a notação: $E\,\!$: “... é empregada de...” e $P\,\!$: “... é patrão de de...”, temos a fórmula:

$\forall x\forall y\left(Exy\leftrightarrow Pyx\right)$

Ou seja: Para todo $x\,\!$ e para todo $y\,\!$, $x\,\!$ é empregada de $y\,\!$ se e somente se $y\,\!$ é patrão de $x\,\!$.

Repare que não foi inserido na fórmula a constante de predicado “...é pessoa”, pois esta fórmula (deve) estar inserida num sistema onde todas constantes individuais são pessoas. Quando mais pra frente lidarmos com formalização da aritmética, também não será preciso a constante de predicado “... é número”.