Lógica/Cálculo Quantificacional Clássico/Dedução Natural no CQC

Este módulo pressupõe a leitura prévia dos módulos Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Dedução Natural - Parte I e Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Dedução Natural - Parte II.

Regras para QuantificadoresEditar

Vamos estabelecer duas regras para cada quantificador: uma para removê-lo e outra para inserí-lo na derivação.

Temos que ser muito cautelosos na aplicação destas regras, pois elas tem muitas restrições. Algumas regras terão a restrição de substitualidade, a qual cabe definir agora:

Dada uma constante  , uma variável   e uma fórmula   quantificada, se   não ocorre em   no escopo do quantificador para  , então dizemos que   é substituível por   em   .

Eliminação do UniversalEditar

 

Ou seja, dada uma fórmula  , aplica-se a eliminação do universal, derivando uma fórmula   tal que a variável   dá lugar a uma constante   .

  • Exemplo

 

 
1.       Premissa
2.       Premissa
3.       1  
4.       3,2 MP

Lembre-se que esta regra é aplicável a fórmulas quantificadas universalmente, e não a quaisquer fórmulas que contém o quantificador universal. Por exemplo, a eliminação do universal não é aplicável à fórmula   .

Introdução do UniversalEditar

 

Ou seja, dada uma fórmula   na qual ocorre a constante  , aplica-se a introdução do universal, derivando uma fórmula   tal que a constante   dá lugar à variável   . A esta regra coloca-se as seguintes restrições:

  1. a constante   não pode ocorrer em premissa ou hipótese vigente.
  2.   deve ser substituível por   em  .
  • Exemplo 1

 

 
1.       Premissa
2.       Premissa
3.       1  
4.       2  
5.       3,4 SH
6.       5  
  • Exemplo 2

 

 
1.       Premissa
2.       1  
3.       2  
4.       3  
5.       4  

O desrespeito à primeira restrição acarretará em derivações falaciosas. Por exemplo:

 
1.       Premissa
2.       1  

Algo como "Frege é lógico. Logo, todos são lógicos". O que é obviamente inválido.

O desrespeito à segunda restrição também acarretará em derivações absurdas, tais como:

 
1.       Premissa
2.       1  
3.       2  

Introdução do ExistencialEditar

 

Ou seja, dada uma fórmula   na qual ocorre a constante  , aplica-se a introdução do existencial, derivando uma fórmula   tal que a constante   dá lugar à variável   . A esta regra coloca-se a restrição de que   deve ser substituível por   em  .

  • Exemplo 1

 

 
1.       Premissa
2.       1  
3.       2  
  • Exemplo 2

 

 
1.       Premissa
2.       1 S
3.       2  
4.       1 S
5.       4  
6.       3,5 C

Lembre-se que apenas uma constante por vez pode ser substituída pela variável. Caso o contrário, ter-se-ia derivações absurdas como:

 
1.       Premissa
2.       1  

Algo como "Colombo descobriu a América e Armstrong andou sobre a Lua. Logo, alguém descobriu a América e andou sobre a Lua". O que é obviamente inválido.

Eliminação do ExistencialEditar

Trataremos aqui a eliminação do existencial como uma regra de inferência hipotética:

Dada uma fórmula  , levanta-se como hipótese uma fórmula   tal que a variável   dá lugar a uma constante  . Desta hipótese, deriva-se uma fórmula  . Ao aplicar a eliminação do existencial, descarta-se a hipótese e   é inserida na derivação. A esta regra coloca-se a seguinte restrição: a constante   não pode ocorrer em premissa, hipótese vigente, em   ou   .

  • Exemplo 1

 

 
1.       Premissa
2.       Premissa
 
3.         Hipótese para  
4.         3 DN
5.         4  
6.         2,5 MP
7.       1,3-5  
  • Exemplo 2

 

 
01.       Premissa
02.       Premissa
 
03.         Hipótese
   
04.           Hipotese para  
05.           1  
06.           4 S
07.           5,6 MP
08.           4 S
09.           7,8 C
10.           9  
11.         3,4-10  
12.         11,2 C
13.       3,12 RAA

ExercícioEditar

Demonstre:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Confira aqui as respostas

Regras Derivadas para QuantificadoresEditar

A única regra derivada para quantificadores que trataremos aqui é o Intercâmbio de Quantificadores (IQ):

           

Vamos provar cada caso deste regra:

Intercâmbio de Quantificadores 1Editar

 

 
1.       Premissa
2.       1  
 
3.         Hipótese
   
4.           Hipótese para  
5.           4,2 C
6.           5  
7.         3,4-6  
8.         7  
9.       3,8 RAA

Intercâmbio de Quantificadores 2Editar

 

 
1.       Premissa
 
2.         Hipótese
3.         2  
4.         3,1 C
5.       2,4 RAA
6.       5  

Intercâmbio de Quantificadores 3Editar

 

 
01.       Premissa
 
02.         Hipótese
   
03.           Hipótese
04.           3  
05.           2,4 C
06.         3,5 RAA
07.         6 DN
08.         7  
09.         1,8 C
10.       2,9 RAA
11.       10 DN

Intercâmbio de Quantificadores 4Editar

 

 
1.       Premissa
 
2.         Hipótese  
   
3.           Hipótese
4.           3  
5.           2,4 C
6.         3,5 RAA
7.       1,2-6  

Aplicando o Intercâmbio de QuantificadoresEditar

Segue abaixo alguns exemplos que ilustram o quanto a regra de intercâmbio de quantificadores é útil.

Exemplo 1Editar

 

 
01.         Hipótese
   
02.           Hipótese
03.           2 DM
04.            3 S
05.            3 S
06.            4 IQ
07.            5 IQ
08.            6  
09.            7  
10.            8,9 C
11.            10 DM
12.            11  
13.            12 IQ
14.            1,13 C
15.         2,14 RAA
16.         15 DN
 
17.       1,16 RPC

Exemplo 2Editar

 

 
01.         Hipótese
   
02.                 Hipótese
03.                 2 IQ
04.                 3  
05.                 4 DM
     
06.             Hipótese
07.             1,6 SD
08.             5 S
09.             8  
10.             9 IQ
11.             6,10 C
       
12.           6,11 RAA
13.           12 DN
14.           5 S
15.           14  
16.           15 IQ
17.           13,16 C
     
18.         2,17 RAA
19.         18 DN
 
20.       1,19 RPC

Exemplo 3Editar

 

 
01.       Premissa
02.       Premissa
 
03.         Hipótese
04.         1  
05.         4  
06.         3,4 MP
07.         3,5 MP
08.         6,7 C
09.       3,8 RAA
10.       9  
11.       10 IQ

ExercíciosEditar

Prove os seguintes teoremas:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  

Confira aqui as respostas


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