Lógica/Lógicas Não-clássicas/Lógica Modal


IntroduçãoEditar

Lógicas modais tratam de modalidades. Além dos conectivos são inseridos dois novos conectivos unários (modalidades):

Modalidade    
Necessidade Necessário Possível
Temporal Sempre no futuro Em algum lugar no futuro
Doxástico Acredito que É consistente com minhas crenças
Provabilidade É demonstrável que É consistente que
Deôntica É obrigatório que É permitido que

Linguagem das lógicas modais:Editar

  • Alfabeto: Símbolos lógicos,   e símbolos proposicionais ( ).
  • Linguagem:   é menor conjunto que:
    •  
    •   então  
    •   então   com  
    •   então  

Axiomatização da Lógica Modal Normal MínimaEditar

Primeiramente definiremos a sintática da lógica modal por sua axiomática. Existem vários tipos de lógica modal, começaremos descrevendo a axiomática da menor lógica normal, também chamada de lógica K:

AxiomasEditar

  • A0) Todas as tautologias clássicas
  • K)  

Regras de InferênciaEditar

  • Modus Ponens:  
  • Necessitação:  

Obs.: Para podermos derivar   temos que ter provado  , não sempre verdade que  

Outros Axiomas ImportantesEditar

Como já mencionamos existem várias lógicas modais diferentes. Em geral os axiomas e as regras de derivação acima são comuns a todas elas (todas aslógicas modais normais). Citaremos alguns outros axiomas que definem outras lógicas modais:

  • T)  
  • 4)  
  • 5)  
  • B)  
  • D)  


Semântica de KripkeEditar

Estrutura de KripkeEditar

Uma estrutura de Kripke é um par (W,R) onde:

  •   é um conjunto não vazio. Representa o conjunto de mundos possíveis
  •   é uma relação binária. Relação de acessibilidade.

Modelo de KripkeEditar

  é um modelo de Kripke sse:

  onde (W,R) é uma estrutura de Kripke. Ou seja v leva símbolos proposicionais aos mundos nos quais eles são verdadeiros.