Logística/Localização/Localização em redes/Localização em redes cíclicas/Localização mediana

A mediana consiste em qualquer nó de uma rede ter a menor distância total possível deste mesmo nó a todos os outros nós, então, uma mediana é qualquer nó tal que (Francis, 1992, p. 426-431):



onde



A soma das distâncias do nó a todos os outros nós é igual a soma dos valores da linha da matriz D, sendo que esta matriz é composta pelas distâncias mais curtas entre todos os pares de nós.


Rede32c.png
Figura 9.12.2.2.1 Exemplo de rede cíclica


A considerar a Figura 9.12.2.2.1 como exemplo, a matriz D será a seguinte:



Dada a matriz D pode-se concluir que:






Desta forma, . Podendo-se então concluir que a mediana desta rede é o nó 2.


Distância Nó-Arco


Para algum ponto do arco , existe uma distância mais curta do nó , onde esta tem o seu valor máximo, esta distância máxima chama-se distância nó-arco e é representada por . Caso o arco não tenha direcção existem dois percursos para ir do nó ao ponto em , sendo que um deles é seguir pelo nó e o outro seguir pelo nó , devendo-se escolher o percurso com a distância mais curta. Existe também a possibilidade do arco ser direccionado, então, um ponto no arco só pode ser alcançado via nó . Para o primeiro caso, onde o arco não é direccionado considera-se que:



Já para o segundo caso, onde o arco é direccionado considera-se que:



Ao numerar os arcos de uma rede de a uma matriz, D', cujo elemento é a distância do nó-arco do nó ao arco pode ser construída utilizando as duas equações descritas acima.


Localização Mediana GeralEditar

Quando considerado qualquer nó   com a menor distância total a cada arco, onde a distância de um nó a um arco é a distância máxima do nó aos pontos do arco, este nó   é uma mediana geral, tal que:


 


onde


 


Uma mediana geral corresponde a qualquer linha de uma matriz D' com menor soma, onde as linhas   desta matriz são compostas pelas distâncias mais curtas entre todos os pares (nós, arcos).

Ao utilizar a Figura 9.12.2.1 como exemplo e ordenando os arcos da seguinte forma:


1.  


2.  


3.  


4.  


5.  


6.  


A matriz D' das distâncias mais curtas entre todos os pares (nós, arcos) é a seguinte:


 


Portanto,


 


 


 


 


 


Pode-se então concluir que o nó 1 é a mediana geral desta rede.


Localização Mediana absolutaEditar

Qualquer ponto com a menor distância total possível a todos os nós é uma mediana absoluta, sendo que esta é qualquer ponto   tal que:


 


com


 ,   é o conjunto de todos os pares da rede


onde


 


Considerando que   é uma função côncava de  , então esta é minimizada quando   ou  


Sendo assim, quando considerado um arco   um de seus nós terminais será o mais indicado para ser mediana absoluta. Desta forma, só é necessário considerar os nós quando se pretende encontrar uma mediana absoluta.


Distância Ponto-Arco


Considerando um ponto   do arco   a sua distância ponto-arco é representada por:


 


Existem quatro casos distintos para determinação da distância ponto-arco, são eles:


1. Arco   não direccionado e diferente de  , então:


 


2. Arco   direccionado e diferente de  , então:


 


3. Arco   direccionado e igual a  , então:


 


4. Arco   não direccionado e igual a  , então:


 


e


 


consequentemente,


 


Localização Mediana Absoluta GeralEditar

Quando a distância total do ponto a todos os arcos é a menor possível estamos perante uma mediana absoluta geral, sendo que esta é qualquer ponto   tal que:


  com  


onde