A mediana consiste em qualquer nó de uma rede ter a menor distância total possível deste mesmo nó a todos os outros nós, então, uma mediana é qualquer nó tal que (Francis, 1992, p. 426-431):
onde
A soma das distâncias do nó a todos os outros nós é igual a soma dos valores da linha da matriz D, sendo que esta matriz é composta pelas distâncias mais curtas entre todos os pares de nós.
Figura 9.12.2.2.1 Exemplo de rede cíclica
A considerar a Figura 9.12.2.2.1 como exemplo, a matriz D será a seguinte:
Dada a matriz D pode-se concluir que:
Desta forma, . Podendo-se então concluir que a mediana desta rede é o nó 2.
Distância Nó-Arco
Para algum ponto do arco , existe uma distância mais curta do nó , onde esta tem o seu valor máximo, esta distância máxima chama-se distância nó-arco e é representada por .
Caso o arco não tenha direcção existem dois percursos para ir do nó ao ponto em , sendo que um deles é seguir pelo nó e o outro seguir pelo nó , devendo-se escolher o percurso com a distância mais curta.
Existe também a possibilidade do arco ser direccionado, então, um ponto no arco só pode ser alcançado via nó .
Para o primeiro caso, onde o arco não é direccionado considera-se que:
Já para o segundo caso, onde o arco é direccionado considera-se que:
Ao numerar os arcos de uma rede de a uma matriz, D', cujo elemento é a distância do nó-arco do nó ao arco pode ser construída utilizando as duas equações descritas acima.
Quando considerado qualquer nó com a menor distância total a cada arco, onde a distância de um nó a um arco é a distância máxima do nó aos pontos do arco, este nó é uma mediana geral, tal que:
onde
Uma mediana geral corresponde a qualquer linha de uma matriz D' com menor soma, onde as linhas desta matriz são compostas pelas distâncias mais curtas entre todos os pares (nós, arcos).
Ao utilizar a Figura 9.12.2.1 como exemplo e ordenando os arcos da seguinte forma:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A matriz D' das distâncias mais curtas entre todos os pares (nós, arcos) é a seguinte:
Portanto,
Pode-se então concluir que o nó 1 é a mediana geral desta rede.
Qualquer ponto com a menor distância total possível a todos os nós é uma mediana absoluta, sendo que esta é qualquer ponto tal que:
com
, é o conjunto de todos os pares da rede
onde
Considerando que é uma função côncava de , então esta é minimizada quando ou
Sendo assim, quando considerado um arco um de seus nós terminais será o mais indicado para ser mediana absoluta.
Desta forma, só é necessário considerar os nós quando se pretende encontrar uma mediana absoluta.
Distância Ponto-Arco
Considerando um ponto do arco a sua distância ponto-arco é representada por:
Existem quatro casos distintos para determinação da distância ponto-arco, são eles:
Quando a distância total do ponto a todos os arcos é a menor possível estamos perante uma mediana absoluta geral, sendo que esta é qualquer ponto tal que: