Logística/Localização/Localização minimax/Localização minimax de uma única instalação com distâncias rectilineares

Nesta divisão, seguem-se problemas de localização minimax de uma única instalação sob a suposição de distâncias rectilíneares.

Como exemplo de um problema minimax de uma única instalação com distâncias rectilineares, temos o seguinte modelo, admitindo que as instalações existentes estão localizadas nos pontos($a_{1},$,$b_{1},$), …….., ($p_{m},$, $b_{m},$) e que a nova instalação está localizada nos pontos(x,y). A distancia máxima rectilinear entre a nova instalação e qualquer outra existente é dada pela seguinte expressão:

            $f(x,y)=max(|x-a_{t}|+|y-b_{t}|)$ 1≤t≤m  (1)

O problema de localização minimax é, então, encontrar uma posição (x, y) para a nova instalação que faz o menor $f(x,y)$ possível. Ou seja, queremos minimizar a distância entre a nova instalação e as instalações existentes, dai o termo "minimax". É também importante reconhecer que os problemas de localização minimax ocorrem em diferentes contextos físicos em relação aos problemas de localização minimum custo total. Generalizando, pode-se afirmar que um problema minimax é um problema local, quando é mais importante fornecer um serviço rápido, ou o acesso conveniente, do que é para minimizar o custo totala longo prazo.

Temos agora um processo de estado para encontrar todos os pontos (x, y) que minimizam a função definida por (1), uma justifição para o procedimento será dado após a sua declaração. Nas expressões de $C_{1}$ a $C_{4}$ que se seguem, definir todos $g_{t}$ para zero, e calcule:

$c_{1}=min(a_{t}+b_{t}-g_{t}),$1≤t≤m

$c_{2}=max(a_{t}+b_{t}+g_{t}),$1≤t≤m

$c_{3}=min(-a_{t}+b_{t}-g_{t}),$1≤t≤m

$c_{4}=max(-a_{t}+b_{t}+g_{t}),$1≤t≤m

$c_{5}=max(c_{2}-c_{1},c_{4}-c_{3})$

Para qualquer ponto (x,y), juntar os pontos sobre o segmento de recta;

$1/2(c_{1}-c_{3},c_{1}+c_{3}+c_{5}),$

$1/2(c_{2}-c_{4},c_{2}+c_{4}-c_{5}),$

Isto é a localização minimax que minimiza a função defenida por (1), o mínimo valor da função é $c_{5}/2$.