Métodos numéricos/Equações não lineares

IntroduçãoEditar

Os métodos descritos neste capítulo permitem obter, por um processo iterativo, uma solução de uma equação   onde   fornecendo uma aproximação inicial  . Obtém-se um sucessão de pontos   tal que   quando   e  .


Definição
Diz-se que   é uma raiz da equação   se  .

Iterações, ordem de convergência e constante assimptótica de erroEditar

Definição
Seja   uma sucessão de pontos tal que   quando   e   e duas constantes  ,  . Se o limite existe

 

Então diz-se que a sucessão de pontos dada converge para   com ordem de convergência   e constante assimptótica de erro  .

Um método iterativo diz-se com convergência linear se  , com convergência supra linear se   e com convergência quadrática se  .

Exemplo
Considere-se as seguintes sucessões:
Este exemplo precisa de ser melhorado!

 ,

 ,

 , para as quais se tem

 ,

  e

 .

Pode então construir-se a seguinte tabela de valores para cada uma das sucessões:

       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

E estimar quanto vale a constante assimptótica de erro   através da expressão

 . Para   obtém-se

     
     

A tabela anterior mostra que as sucessões têm uma convergência linear ( ) com uma constante assimptótica de erro próxima de um, têm por isso uma convergência muito lenta.

Critérios de paradaEditar

Os métodos que serão expostos nas seções seguintes permitem obter uma sucessão de valores que aproximam sucessivamente o zero de uma função. De modo a definir um critério que permita aferir qual a exatidão da aproximação obtida é usual terminar o algoritmo que calcula cada aproximação através da verificação das seguintes condições, dado um  :

i.
 
ii.
  onde  ,
iii.
 .

A estas condições é necessário adicionar ainda a condição   onde   é o número máximo de iterações.

Método da bissecçãoEditar

Código em OctaveEditar

function bf=bissec(a,b,Niter,tol)

format short g;
disp("")
disp ("Resultado do metodo da bisseccao")
disp("")
disp ("           n           a           b           x         f(x)")  
fa=f(a);
for i=1:1:Niter
  fb=f(b);
  x=a+(b-a)/2;
  fx=f(x);

  disp ([i, a, b, x, fx]);
  if (fx==0 |(b-a)/2<tol)
    disp("")
    disp ("O metodo foi aplicado com sucesso!")
    disp("")
    return;
    else
      if (fa*fx>0)
      a=x;
      fa=fx;
    else
      b=x;
    endif
  endif
  
endfor
disp("")
disp ("O metodo falhou depois da iteracao (Niter)")
disp (Niter)
disp("")
endfunction

Com a função

function fv = f(x) 
x*ln(x) - 3.2;
endfunction


Para correr o programa fazer

Input
bissec(2,3)

e gera o

Output
Resultado do metodo da bisseccao

           n           a           b           x         f(x)
           1           0           3         1.5     -1.4293
           2           0         1.5        0.75   -0.018311
           3           0        0.75       0.375     0.55551
           4       0.375        0.75      0.5625     0.28342
           5      0.5625        0.75     0.65625     0.13604
           6     0.65625        0.75     0.70312      0.0597
           7     0.70312        0.75     0.72656      0.0209
           8     0.72656        0.75     0.73828   0.0013451
           9     0.73828        0.75     0.74414  -0.0084704

O metodo foi aplicado com sucesso!

No caso de o número de iterações não seja suficiente o resultado é este

Input
bissec(2,3)
Output
Resultado do metodo da bisseccao

           n           a           b           x         f(x)
           1           0           3         1.5     -1.4293
           2           0         1.5        0.75   -0.018311
           3           0        0.75       0.375     0.55551
           4       0.375        0.75      0.5625     0.28342
           5      0.5625        0.75     0.65625     0.13604

O metodo falhou depois da iteracao
         5

Método de NewtonEditar

Zeros simplesEditar

 

 ,  

Zeros múltiplosEditar

 

 ,   onde   é a multiplicidade da raíz.

Método da secanteEditar

Implementação em OctaveEditar

Com a mesma f.m definida anteriormente.

function sf=secant(x,y,Niter,tol)

format short g;
disp("")
disp ("Resultado para o metodo da secante")
disp("")
disp ("           n          x         err        f(x)")  

for i=1:Niter
  if (f(x)==0 |abs(x-y)<tol)
    disp("")
    disp ("O metodo foi aplicado com sucesso!")
    disp("")
    return;
  else
    epsilon=abs(f(y)*(y-x)/(f(y)-f(x)));
    disp ([i, y, epsilon, f(y)]);
    oldx=y;
    y=y-f(y)*(y-x)/(f(y)-f(x));
    x=oldx;
  endif 
endfor

disp("")
disp ("O metodo falhou depois da iteracao (Niter)")
disp (Niter)
disp("")
endfunction
Input
secant(.2,.3,15,.01)


Output
Resultado para o metodo da secante

           n          x         err        f(x)
           1         0.3      0.5254     0.65534
           2      0.8254    0.096338    -0.14714
           3     0.72907   0.0098364    0.016732

O metodo foi aplicado com sucesso!

Método da falsa posição (Regula falsi)Editar

Implementação em OctaveEditar

Com a mesma f.m definida anteriormente.

function rff=regulafalsi(x,y,Niter,tol)

format short g;
disp("")
disp ("Resultado para o metodo da falsa posicao")
disp("")
disp ("           n          x          y         err        f(x)")  


for i=1:Niter
  oldy=y;
  y=y-f(y)*(y-x)/(f(y)-f(x));
  if (f(y)==0 |abs(y-oldy)<tol)
    disp("")
    disp ("O metodo foi aplicado com sucesso!")
    disp("")
    return;
  else
    epsilon=abs(x-y);
    disp ([i,x, y, epsilon, f(y)]);
    if (f(oldy)*f(y)<0)
      x=oldy;
    else
    endif
  endif 
endfor

disp("")
disp ("O metodo falhou depois da iteracao (Niter)")
disp (Niter)
disp("")

endfunction
Input
regulafalsi(.2,1,100,.001)
Output
Resultado para o metodo da falsa posicao

           n          x          y         err        f(x)
           1         0.2     0.70336     0.50336    0.059306
           2           1     0.73726     0.26274   0.0030522
           3           1     0.73899     0.26101   0.0001531

O metodo foi aplicado com sucesso!

Método da falsa posição modificadoEditar

PASSO 1

Faça i = 1

PASSO 2

Enquanto i £ ITMAX, execute os passos 3 – 6

PASSO 3

Faça p = f( p) (calcular pi )

PASSO 4

Se 0 p - p < e então Saída ( p ) (procedimento efetuado com sucesso) FIM

PASSO 5

Faça i = i + 1

PASSO 6

Faça p0 = p (atualize p0 )

PASSO 7

Saída (solução não encontrada após ITMAX iterações)

FIM

Método do ponto fixoEditar

i) f e f' são funções contínuas em I; ii) = f ( ) <1 Î k x x I max ' iii) x0 ÎI e xn+1 = f(xn )ÎI , para n = 0, 1, 2, ¼ Então a seqüência { } xn converge para o zero a .


Implementação em OctaveEditar

Com a função g.m definida por:

function gv = g(x)

  gv=cos(x);

endfunction
function sfp=fpoint(x,Niter,tol)

format short g;
disp("")
disp ("Resultado para o metodo do ponto fixo")
disp("")
disp ("           n          x          err        g(x)")  

for i=1:Niter
  oldx=x;
  x=g(x);
  
  if (g(x)==x |abs(x-oldx)<tol)
    disp("")
    disp ("O metodo foi aplicado com sucesso!")
    disp("")
    return;
  else
    epsilon=abs(x-oldx);
    disp ([i,x, epsilon, g(x)]);
  endif 

endfor

disp("")
disp ("O metodo falhou depois da iteracao (Niter)")
disp (Niter)
disp ("iterations")
disp("")

endfunction
Input
fpoint(.2,100,.01)
Output
Resultado para o metodo do ponto fixo

           n          x          err        g(x)
           1     0.98007     0.78007     0.55697
           2     0.55697      0.4231     0.84886
           3     0.84886     0.29189     0.66084
           4     0.66084     0.18802     0.78948
           5     0.78948     0.12864     0.70422
           6     0.70422    0.085263     0.76212
           7     0.76212    0.057904     0.72337
           8     0.72337    0.038745     0.74958
           9     0.74958    0.026202     0.73198
          10     0.73198    0.017599     0.74385
          11     0.74385    0.011877     0.73586

O metodo foi aplicado com sucesso!


 

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