Métodos numéricos/Interpolação polinomial

IntroduçãoEditar

A Interpolação consiste em determinar uma função (polinómio) que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação).

Teorema: Dados   nós   e os respectivos valores   ; existe um e só um polinómio interpolador de grau   para esses valores.

Existência e unicidadeEditar

Teorema de WeirstrassEditar

Polinómios de BernsteinEditar

Polinómio de VandermondEditar

Polinómio interpolador de LagrangeEditar

Dados   nós de interpolação  , o polinómio de Lagrange é um polinómio da forma   onde  .

Note que para qualquer nó  ,  

Polinómio interpolador de NewtonEditar

Trata-se de uma fórmula alternativa para o cálculo do polinómio interpolador, baseada numa construção sucessiva a partir dos polinómios de graus inferiores. Para estabelecer essa fórmula convém introduzir a noção de diferença dividida.

As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas, desde que se utilizem pontos suficientemente próximos.

A diferença dividida de 1ª ordem é definida de uma forma geral por: f [ xi, xj] = ( fi - fj ) / ( xi - xj ) e uma diferença dividida de ordem k, pode ser obtida a partir das anteriores : f [ xi , ... , xi+k] = ( f [ xi+1, ... , xi+k ] - f [ xi, ... , xi+k-1 ] ) / ( xi+k - xi )

Fórmula de Newton

pn(x) = pn-1(x) + f [ x0 , ... , xn ] (x - x0) ... ( x - xn-1)

Splines cúbicosEditar

 

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