Métodos numéricos/Interpolação polinomial

Introdução

A Interpolação consiste em determinar uma função (polinómio) que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação).

Teorema: Dados $n+1$ nós $x_{0},\ldots ,x_{n}$ e os respectivos valores $f(x_{0}),\ldots ,f(x_{n})$ ; existe um e só um polinómio interpolador de grau $\leq n$ para esses valores.

Existência e unicidade

Polinómio interpolador de Lagrange

Dados $n+1$ nós de interpolação $x_{0},\ldots ,x_{n}$, o polinómio de Lagrange é um polinómio da forma $p_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})H_{i}(x)$ onde $H_{i}(x)=\prod _{j=0,i\neq j}^{n}{\frac {(x-x_{i})}{(x_{j}-x_{i})}}$.

Note que para qualquer nó $x_{k}$, $H_{i}(x_{k})={\begin{cases}0,&se\;k\neq i\\1,&se\;k=i\end{cases}}$

Polinómio interpolador de Newton

Trata-se de uma fórmula alternativa para o cálculo do polinómio interpolador, baseada numa construção sucessiva a partir dos polinómios de graus inferiores. Para estabelecer essa fórmula convém introduzir a noção de diferença dividida.

As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas, desde que se utilizem pontos suficientemente próximos.

A diferença dividida de 1ª ordem é definida de uma forma geral por: f [ xi, xj] = ( fi - fj ) / ( xi - xj ) e uma diferença dividida de ordem k, pode ser obtida a partir das anteriores : f [ xi , ... , xi+k] = ( f [ xi+1, ... , xi+k ] - f [ xi, ... , xi+k-1 ] ) / ( xi+k - xi )

Fórmula de Newton

pn(x) = pn-1(x) + f [ x0 , ... , xn ] (x - x0) ... ( x - xn-1)

Splines cúbicos

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