Matemática - Funções/Funções de Segundo Grau

Por meio da fórmula de Bháskara, é possível encontrar as raízes de uma função do segundo grau:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

Onde:

$\Delta =b^{2}-4ac$

E se:

$\Delta >0$ → A função tem 2 raízes diferentes.

$\Delta =0$ → A função tem apenas 1 única raiz.

$\Delta <0$ → A função não tem raízes.

Questão 1) Calcule as raízes e o vértice das seguintes funções, e esboce seus gráficos:

a) $f(x)=x^{2}-6x+5$

b) $f(x)=x^{2}-10x+16$

c) $f(x)=x^{2}+14x+49$

d) $f(x)=x^{2}-8x+16$

a) Função da forma: $f(x)=ax^{2}+bx+c$, onde $a=1$, $b=-6$ e $c=5$.

Calculando o valor de $\Delta$:

$\Delta =(-6)^{2}-4(1)(5)$

$\Delta =36-20=16$

Aplicando a fórmula de Bháskara:

$x={\frac {-(-6)\pm {\sqrt {16}}}{2(1)}}$

$x={\frac {6\pm 4}{2}}$

$x'=5$ , $x''=1$

Para calcular o vértice $(x_{v};y_{v})$, é necessário, primeiro, tirar a média aritmética das raízes:

$x_{v}={\frac {x'+x''}{2}}$

$x_{v}={\frac {5+1}{2}}=3$

Depois, é só calcular $f(3)$:

$f(3)=(3)^{2}-6(3)+5=9-18+5=-4$

$(x_{v};y_{v})=(3;-4)$

Para encontrar o ponto onde o gráfico da função cruza o eixo y, basta fazer $f(0)$:

$f(0)=(0)^{2}-6(0)+5=5$

b) Função da forma: $f(x)=ax^{2}+bx+c$, onde $a=1$, $b=-10$ e $c=16$.

Calculando o valor de $\Delta$:

$\Delta =(-10)^{2}-4(1)(16)$

$\Delta =100-64=36$

Aplicando a fórmula de Bháskara:

$x={\frac {-(-10)\pm {\sqrt {64}}}{2(1)}}$

$x={\frac {10\pm 8}{2}}$

$x'={\frac {18}{2}}=9$ , $x''={\frac {2}{2}}=1$

Para calcular o vértice $(x_{v};y_{v})$, é necessário, primeiro, tirar a média aritmética das raízes:

$x_{v}={\frac {x'+x''}{2}}$

$x_{v}={\frac {9+1}{2}}=5$

Depois, é só calcular $f(5)$:

$f(3)=(5)^{2}-10(5)+16=25-50+16=-9$

$(x_{v};y_{v})=(5;-9)$

Para encontrar o ponto onde o gráfico da função cruza o eixo y, basta fazer $f(0)$:

$f(0)=(0)^{2}-10(0)+16=16$

c) Função da forma: $f(x)=ax^{2}+bx+c$, onde $a=1$, $b=14$ e $c=49$.

Calculando o valor de $\Delta$:

$\Delta =(14)^{2}-4(1)(49)$

$\Delta =196-196=0$

Aplicando a fórmula de Bháskara:

$x={\frac {-(14)\pm {\sqrt {0}}}{2(1)}}$

$x=-7$

$(x_{v};y_{v})=(-7;0)$

d) Função da forma: $f(x)=ax^{2}+bx+c$, onde $a=1$, $b=-8$ e $c=16$.

Calculando o valor de $\Delta$:

$\Delta =(-8)^{2}-4(1)(16)$

$\Delta =64-64=0$

Aplicando a fórmula de Bháskara:

$x={\frac {-(8)\pm {\sqrt {0}}}{2(1)}}$

$x=-4$

$(x_{v};y_{v})=(-4;0)$