Matemática financeira/Descontos

O desconto é uma compensação recebida pelo tomador do empréstimo, pelo pagamento adiantado da dívida.

O termo "desconto" também se aplica a antecipação de recebíveis (operação de crédito). Como exemplo clássico podemos citar o "desconto de cheques pré-datados", comum no sistema bancário.

Nos casos de desconto, toda dívida, título, recebível possui um valor nominal, ou seja, o valor original que seria cobrado ou pago na data de vencimento.

O valor nominal ($N\,\!$), taxa de juros aplicada na operação de desconto ($i$) e o período de antecipação ($n\,\!$), representado são os elementos necessários para o cálculo do desconto ($D$). No cálculo do desconto, é possível obter o valor atual ($A$) da dívida ou título, ou seja, o valor pago, antecipadamente, na operação de desconto.

Existem basicamente dois tipos de desconto, o desconto racional, e o desconto comercial. Os dois tipos podem ser aplicados em operações de juros simples (desconto simples) e de juros compostos (desconto composto).

Desconto Racional

No desconto racional, o cálculo é realizado com os mesmos critérios do cálculo de juros. A diferença é que o desconto corresponde a uma operação de descapitalização.

Ou seja, é necessário "retroceder" a capitalização calculada para o período de antecipação.

Desconto Racional Simples

Para obter o valor $D\,\!$ do desconto racional simples (operação de juros simples) a ser concedido sobre o valor nominal $N\,\!$ de um título que vence em $n\,\!$ períodos, sobre o qual se paga uma taxa de juros simples $i$, o valor do desconto é calculado com a seguinte fórmula:

$D={\frac {N\times i\times n}{1+(i\times n)}}$

Esta fórmula possui fácil dedução, utilizando o valor atual $A$ como parâmetro, aplicando o juros simples sobre ele para obter o valor futuro, ou nominal $N\,\!$

$N=A+(A\times (i\times n))$ ou, simplesmente,  $N=A\times (1+i\times n)$ ,ou seja, $A={\frac {N}{1+(i\times n)}}$ 

Sabendo que o desconto $D\,\!$ é justamente a diferença entre o valor nominal $N\,\!$ e o valor atual $A$,

$D=N-A$ 

Basta realizar as devidas substituições para dedução da fórmula de desconto racional simples.

Desconto Racional Composto

Para obter o valor $D\,\!$ do desconto racional composto (operação de juros composto), o mesmo princípio pode ser aplicado. Considerando valor nominal $N\,\!$ de um título que vence em $n\,\!$ períodos, sobre o qual se paga uma taxa de juros compostos $c$, calculamos o valor do desconto com a seguinte fórmula

$D=N-{\frac {N}{(1+c)^{n}}}=N\times {\frac {(1+c)^{n}-1}{(1+c)^{n}}}=N\times [1-(1+c)^{-n}]\,\!$

A fórmula também deriva do calculo do valor atual, agora com juros compostos

$N=A\times (1+c)^{n}$ ,ou seja, $A={\frac {N}{(1+c)^{n}}}$ 

Considerando que o desconto concedido $D\,\!$ também é a diferença entre o valor nominal $N\,\!$ e o valor atual $A$, a dedução da fórmula de desconto racional composto se torna possível.

Desconto Comercial

O desconto comercial, que também chamado "desconto por fora" ou "desconto comercial simples", difere do desconto racional principalmente por que se trata de uma taxa aplicada ao valor nominal do título. Em seu cálculo, não ocorre uma descapitalização, como no caso do desconto racional.

O valor do desconto $D\,\!$ é obtido diretamente pela aplicação da taxa de desconto $d$, ao valor nominal $N\,\!$ do título:

$D=N\times d\times n\,\!$

O valor atual$A$, ou valor a ser pago pelo título, é o valor nominal descontado:

$A=N-N\times d\times n\,\!$

ou

$A=N(1-d\times n)\,\!$

Por ter calculo mais simples, foi adotado pelo comércio, daí sua nomenclatura. Porém, seu valor atual será menor que o valor atual calculado com desconto racional considerando a mesma taxa de juros.

Portanto, o desconto comercial não pode ser considerado matematicamente correto.