Matemática elementar/Relações

Relações são, conforme visto no capítulo anterior, quaisquer subconjuntos do produto cartesiano A × B. Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X₁ × X₂ × ... × X_n), e a relação específica que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada relação binária.

Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B. Representa-se a relação binária por $R:A\rightarrow B\,\!$. O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B é chamado de contradomínio da relação.

Especificando relações

Relação de A em B, definida como a associação de elementos de A ao seu dobro em B.

A imagem à direita mostra uma maneira comum de se especificar relações: através de figuras mostrando os dois conjuntos, com setas indicando os pares ordenados.

As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira:

$R=\{(x,y)\in A\times B|C\}\,\!$,

Onde C é uma condição qualquer que associe os elementos de A e B. Pode ser uma equação ou inequação. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }

B = { 1,2,3,4,5,6 }

$R=\{(x,y)\in A\times B|y=2x\}\,\!$

A relação, cujo domínio é A e o contradomínio é B, é especificada por y = 2x. Logo, R = { (1,2),(2,4),(3,6) }.

C = { 1,2,4,8 }

D = { 0,1,2 }

$R=\{(x,y)\in C\times D|x<y\}\,\!$

R = { (1,2) }

Representação gráfica

Gráfico de uma relação y = 2x, para x e y reais. Alguns pares ordenados aparecem marcados pelas linhas azuis.

Relações binárias, visto consistirem de pares ordenados, podem ser representadas em gráficos. Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. O gráfico formado assim é também chamado de sistema cartesiano ou gráfico cartesiano, por representar um produto cartesiano.

Uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais é representada, usualmente, num plano com duas retas: o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas. Estas retas recebem também os símbolos x e y, respectivamente.

Gráfico de uma relação y ≤ x + 1, para x e y reais.

No caso da relação ser definida por inequações, o gráfico correspondente vai representar áreas, e não curvas. (Por razões práticas, no gráfico muitas vezes aparece colorida ou hachurada apenas uma parte, logo abaixo ou acima de uma linha que define a inequação.)

Um gráfico pode estar "em branco" para relações definidas pelo conjunto vazio ({}).

No gráfico como apresentado o eixo das abcissas representa o domínio da relação, e o eixo das ordenadas representa o contra-domínio da relação.

Função

Existe um tipo especial de relação que é chamado função: é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. A função normalmente é simbolizada por f(x) (sendo x uma variável, ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio).

Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio).

As funções são estudadas com mais detalhes no próximo capítulo.

Relações de equivalência

Uma classe muito importante de relações são as de equivalência, que serão definidas a seguir. Seja R uma relação entre os conjuntos A e B, ou seja, R ⊆ A×B. Denotaremos que um elemento a de A se relaciona com o elemento b de B, segundo a relação R, por aRb. Se uma relação R definida com domínio A e contradomínio A cumpre as seguintes propriedades: ∀a $\in$ A aRa (propriedade reflexiva) ∀a,b $\in$ A aRb ⇔ bRa (propriedade simétrica) ∀a,b,c $\in$ A aRb e bRc ⇒ aRc (propriedade transitiva) Ela é dita Relação de Equivalência.

Relações de equivalência permitem que se definam classes de equivalência. Seja ā = {x $\in$ A | xRa}. ā é denominado classe de equivalência de a. Alguns resultados importantes desta definição são:

Teorema: Se a $\in$ ē ⇒ ā=ē Demonstração: Tome x $\in$ ā. Por definição xRa. Como a $\in$ ē, por definição aRe. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRe, logo x $\in$ ē. Tome x $\in$ ē. Por definição xRe. Como a $\in$ ē, por definição aRe, logo, eRa. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRa, logo x $\in$ ā. Deste modo, ā=ē.

Teorema: Se a∉ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Suponha, por absurdo que existe um x em ā∩ē. Da definição de interseção de conjuntos e da definição de classes de equivalência, xRa e xRe. Logo aRx e xRe. Daí aRe. Deste modo, a $\in$ ē. Isto é um absurdo pela hipótese. Deste modo, nenhum x pode pertencer a ā∩ē. Logo ā∩ē=∅.

Teorema: Se ā≠ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Se ā≠ē, então existe u $\in$ ā tal que u∉ē ou u $\in$ ē tal que u∉ā. Suporemos, sem perda de generalidade, que existe u $\in$ ā tal que u∉ē. Como já provamos ū=ā e ū∩ē=∅. Logo ā∩ē=∅.

Definição: Uma partição de um conjunto X é um conjunto P tal que x $\in$ P ⇒ x⊆X, além de x,y $\in$ P ⇒ x∩y=∅ e x $\in$ X ⇒ ∃a $\in$ P tal que x $\in$ a.

Teorema: Seja R uma relação de equivalência em A, P={ā⊆A|a $\in$ A} é uma partição de A. Demonstração: Mostramos, no teorema anterior, que os elementos de P são subconjuntos de A, o que cumpre a primeira condição da definição de partição. Dois elementos de P, se são distintos, são disjuntos, conforme provamos no teorema anterior. E, para todo u em A, ū pertence a P, pela definição de P. Deste modo P é uma partição de A.

Teorema: Seja P uma partição de A, a relação R dada por aRe ⇔ a $\in$ ē é de equivalência. Demonstração: a $\in$ ā por definição, de modo que aRa para todo a em A. Se aRe, então a $\in$ ē, logo ā=ē. Daí, como e $\in$ ē por definição, então e $\in$ ā. Logo eRa Se aRe e eRu, então a $\in$ ē e e $\in$ ū. Daí, sabemos que ā=ē=ū. Logo a $\in$ ū e, portanto, aRu. Deste modo, provamos as três condições da definição de relação de equivalência.

Disto sabemos que toda partição induz uma relação de equivalência e toda relação de equivalência induz uma partição. Estes resultados são muito úteis em vários ramos da Matemática, como Geometria.