Matemática elementar/Trigonometria/Arcos e ângulos


CircunferênciaEditar

Seja   um ponto qualquer do plano e   um número real. A circunferência de centro   e raio   é o lugar geométrico dos pontos   desse plano tais que  

Veja no Wikicionário círculo.

Arco de circunferênciaEditar

Consideremos uma circunferência   de centro   Sejam   e   dois pontos distintos de  

Um arco de circunferência de extremos   e     é cada uma das partes em que fica dividida uma circunferência por dois de seus pontos.

Quando   teremos dois arcos: o arco nulo (um ponto) e o arco de uma volta (uma circunferência).

Arco de circunferência e ângulo central correspondenteEditar

 
 

A medida de um arco é, por definição, a medida do ângulo central correspondente. Medir significa comparar com uma unidade padrão previamente adotada. Contudo, para evitar possíveis divergências na escolha da unidade para medir um mesmo arco, as unidades de medida restringem-se a três principais: o grau ( ), o radiano ( ) e o grado, sendo este último não muito comum.

O grauEditar

Um grau é um arco de circunferência cujo comprimento equivale a   da circunferência que contém o arco a ser medido. Portanto, a medida, em graus, de um arco de uma volta completa (uma circunferência) é  

Submúltiplos do grau
  • O minuto     ou seja,  
  • O segundo     ou seja,   e  

O radianoEditar

Um radiano é um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. É a unidade do Sistema Internacional (SI).

Conseqüentemente, para medir um ângulo   em radianos, convém calcular a razão entre o comprimento   do arco pelo raio   ou seja, calcular quantos radianos mede o arco   Portanto, como consequência da definição de radiano, podemos estabelecer a seguinte relação:

  onde   e   devem estar na mesma unidade de comprimento.

O comprimento de uma circunferência de raio   é   Logo, a medida do arco de uma volta completa, em radianos, é   Para converter unidades, podemos usar as correspondências   ou   e uma regra de três simples.

O gradoEditar

Ver artigo na wikipedia Grado O grado foi introduzido junto com o Sistema métrico, durante a Revolução francesa mas, ao contrário do sucesso das outras medidas, não pegou. Atualmente, ele é apenas utilizado nos trabalhos topográficos e geodésicos feitos na França.

É a medida de um arco cujo comprimento equivale a   da circunferência que contém o arco a ser medido. É evidente que, para conversão de unidades, pode-se utilizar as relações   ou   e uma regra de três simples.

O ciclo trigonométricoEditar

Consideremos no plano um sistema de eixos perpendiculares   em que   Seja uma circunferência   de centro   raio   e o ponto  

A cada número real   associaremos um único ponto   de  

  • Se   então tomamos  
  • Se   realizamos, a partir de   um percurso de comprimento   no sentido anti-horário e marcamos o ponto   como final desse percurso.
  • Se   realizamos, a partir de   um percurso de comprimento   no sentido horário, e marcamos o ponto   como final desse percurso.

Assim, a circunferência sobre a qual foi fixado o ponto   como orientação é chamada ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica.

O ponto   é chamado imagem de   no ciclo trigonométrico.

O sistema de eixos perpendiculares   divide o ciclo trigonométrico em quatro partes, cada uma das quais é chamada quadrante.

Ângulos côngruosEditar

Os ângulos   e   em graus, são côngruos ou congruentes se, e somente se,   para algum   ou seja, se   e   têm a mesma imagem no ciclo trigonométrico. Para indicar que   e   são côngruos escrevemos  

Por exemplo, os ângulos   e   são congruentes, pois  

Expressão geral dos arcos que têm imagem em um ponto do ciclo trigonométrico..Editar

Consideremos um sistema de eixos perpendiculares   e uma circunferência   de centro   e raio   Sendo um ponto qualquer pertencente à   a imagem de um ângulo   na circunferência, podemos estabelecer uma expressão geral dos arcos que têm imagem em um determinado ponto do ciclo trigonométrico.

Por exemplo, a expressão geral dos arcos que têm imagem no ponto   dar-se-á por   ou   sendo   o número de voltas completas. Quando   deve-se andar no sentido anti-horário; se   deve-se andar no sentido horário.

Analogamente, temos:

  • Para     ou  
  • Para     ou  
  • Para     ou  
  • Para   ou     ou  
  • Para   ou     ou  
  • Para   ou   ou   ou     ou  

Considerando a figura acima, a expressão geral dos arcos que têm imagem em   ou   é:

  •   em graus:  
  •   em radianos:  

Expressão geral dos arcos que têm imagem em  

  •   em graus:  
  •   em radianos:  

No caso da figura seguinte, a expressão geral dos arcos fica:

  •   em graus:  
  •   em radianos:  

Primeira determinação positivaEditar

A primeira determinação positiva de um ângulo é o menor ângulo côngruo que seja positivo.

Por exemplo, os ângulos (em graus) -15o, 315o, 2115o, -2505o são congruentes, sendo sua primeira determinação positiva o ângulo 315o.

Analogamente, os ângulos (em radianos)  ,   e   são congruentes, sendo sua primeira determinação positiva o ângulo  .

Para se resolver o problema de determinar a primeira determinação positiva é preciso:

  1. dividir o ângulo pelo valor do círculo trigonométrico (360o ou  , conforme o problema seja apresentado em graus ou radianos)
  2. se este número não for inteiro, arredondar o valor para o valor inteiro imediatamente inferior
  3. tomar o número inteiro com sinal contrário (ou seja, se o passo anterior obteve n, obter agora -n)
  4. somar ao ângulo inicial este valor inteiro do passo acima multiplicado pelo círculo trigonométrico (360o ou  , conforme o problema seja apresentado em graus ou radianos)

Exemplos:

  1. Se o ângulo inicial é -580o
    1. Dividir -580 por 360 -> -1,(alguma coisa) (note que não é preciso fazer a divisão até o fim, já que estamos apenas interessados na parte inteira da divisão)
    2. Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> -2
    3. Trocar o sinal -> 2
    4. Somar -580o com 2 x 360o -> 140o
  2. Se o ângulo inicial é  
    1. Dividir   por   -> 4
    2. Sendo inteiro, manter -> 4
    3. Trocar o sinal -> -4
    4. Somar   com   -> 0
  3. Se o ângulo inicial é  
    1. Dividir   por   ->   ou, aproximadamente, 4,(alguma coisa)
    2. Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> 4
    3. Trocar o sinal -> -4
    4. Somar   com   ->  

Imagens de alguns arcos importantesEditar

  • Primeira volta no sentido anti-horário:

   

Ângulos correspondentesEditar

  • Em graus:

 

  • Em radianos:

 

ExercíciosEditar