Mecânica Newtoniana/Conceitos básicos

Espaço e Tempo

O primeiro passo para o estabelecimento de uma teoria sobre o movimento é descobrir como devemos expressar matematicamente o estado de movimento de um corpo nessa teoria. Para tal precisamos definir o palco onde esse movimento acontece. Vamos estabelecer então a noção de espaço e de tempo. Na visão newtoniana o espaço é um espaço cartesiano tridimensional como definido pela geometria analítica e a posição de um corpo é dada por um ponto nesse espaço tridimensional. O tempo newtoniano flui independentemente do observador, sempre em direção ao futuro.

Neste primeiro capítulo estaremos preocupados com corpos puntuais, ou seja, aqueles cujas dimensões são muito menores do que as distâncias que ele cobre durante seu movimento. Podemos, nesse sentido considerar uma bola de tênis percorrendo uma trajetória longa ou um avião viajando entre duas cidades ou ainda a Terra em sua órbita como corpos pontuais, mas não podemos considerar um carro numa garagem pequena um objeto puntual. A dinâmica de corpos extensos requer uma sofisticação adicional, mas é tratada pelas mesmas leis e será abordada mais tarde. O estado de movimento de um corpo puntual é completamente estabelecido na visão newtoniana se for dada a posição desse corpo em cada instante de tempo, ou seja, se dermos:

${\vec {x}}={\vec {x}}(t)$.

Essa equação define uma curva denominada trajetória. A trajetória é uma curva tridimensional formadas por todos os pontos por onde o corpo deve passar durante seu movimento.

Um conceito central para a mecânica é o de velocidade. A velocidade é a taxa de variação da posição com relação ao tempo, ou seja:

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}$

Outro conceito central é a aceleração, a taxa de variação da velocidade:

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {x}}}{dt^{2}}}$

Claro que poderíamos continuar a buscar informações sobre a trajetória com derivadas superiores. Contudo, como será visto na próxima seção, a segunda derivada é suficiente para descrever o movimento de um corpo completamente na mecânica clássica.

Sistemas de Referência

Para expressar os vetores posição, velocidade e aceleração, é necessário escolher um 'sistema de referência'. Um sistema de referência é dado por um ponto particular, denominado 'origem', e uma sistema cartesiano de coordenadas para identificar os pontos:

$(x_{1},x_{2},x_{3})$

O sistema de coordenadas está associado a um conjunto de vetores de base, ortonormais e orientados:

$\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$

Vamos representar um sistema de referência com uma base dada por $\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$ uma origem dada pelo ponto ${\mathcal {O}}$ como $S(\{\mathbf {e} \},{\mathcal {O}})$ Dessa forma, o vetor posição é a diferença entre o ponto onde se encontra o ponto material e a origem:

${\vec {x}}(t)={\mathcal {O}}+\sum _{i=1}^{3}x_{i}(t)\mathbf {e} _{i}$

e suas coordenadas são dadas por:

$x_{i}(t)=\mathbf {e} _{i}\cdot {\vec {x}}(t)$

A própria origem e o sistema de coordenadas adotado podem apresentar um estado de movimento próprio com relação a outro sistema de referência, de modo que a representação dos vetores de base em outro sistema de coordenadas pode depender do tempo:

$\mathbf {e} _{i}=\sum _{j=1}^{3}M^{ij}(t)\mathbf {e'} _{j},$

(note que a matriz M deve ser unitária pois é uma transformação entre bases ortonormais orientadas) bem como o ponto que representa a origem pode mover-se no tempo com relação a outro sistema de referência:

${\mathcal {O}}={\mathcal {O}}(t)={\mathcal {O}}'+{\vec {x}}_{\mathcal {O}}(t)$

onde ${\vec {x}}_{\mathcal {O}}(t)$ é o vetor posição do ponto ${\mathcal {O}}$ no sistema de referência $S(\{\mathbf {e'} \},{\mathcal {O}}')$.

Uma transformação geral de coordenadas entre dois sistemas de referência é dada então por:

${\vec {x}}'(t)={\hat {M}}^{-1}(t){\vec {x}}(t)+{\vec {x}}_{\mathcal {O}}(t)$

Um sistema de referência $S(\{\mathbf {e} \},{\mathcal {O}})$ é dito inercial com relação ao sistema de referência $S(\{\mathbf {e} '\},{\mathcal {O}}')$ se:

1. a matriz de transformação dos eixos ${\hat {M}}$ é estática, ou seja, não depende do tempo;
2. a origem ${\mathcal {O}}$ se move com velocidade constante no sistema de referência S', ou seja, ${\vec {x}}_{\mathcal {O}}(t)={\vec {x}}_{0}+{\vec {v}}_{\mathcal {O}}t$

Princípios Básicos

A observação do movimento dos corpos ao longo da história permitiu com que, no final do século XVII, Isaac Newton estabelecesse três princípios dos quais toda a mecânica é conseqüência. Tais princípios podem ser enunciados da seguinte forma:

• Princípio da Inércia: em um referencial inercial um corpo deve permanecer em repouso ou movimento retilíneo e uniforme, a não ser que algo perturbe sua trajetória.

• Princípio Fundamental da Dinâmica: perturbações na trajetória de um corpo devem ser entendidas como a ação de uma grandeza vetorial chamada força (${\vec {F}}$ )e seu efeito sobre a trajetória do corpo é dado por:

${\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}$

Sendo $m$ uma constante de proporcionalidade que caracteriza cada corpo denominada massa inercial.

Note que se soubermos qual a força a qual o corpo está submetido em cada instante de tempo essa equação acima nos fornece uma equação diferencial de onde podemos deduzir a trajetória mediante integração:

${\vec {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}={\frac {\vec {F}}{m}}$

• Principio da Ação e Reação: forças devem necessariamente ter sido aplicadas por outros corpos. Quando um corpo aplica uma força em outro ele próprio sofre uma força de igual intensidade e mesma direção porém sentido oposto.