Mecânica dos fluidos/Teorema do transporte de Reynolds

Teorema do transporte de Reynolds

As equações básicas para volumes de controle têm todas uma forma similar:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho dV+\int _{S}\rho {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}\;=\;{\frac {dm}{dt}}$

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho {\vec {v}}dV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho ({\vec {r}}\times {\vec {v}})dV\;+\;\int _{S}\rho ({\vec {r}}\times {\vec {v}})({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;{\frac {d{\vec {H}}}{dt}}$

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho edV\;+\;\int _{S}\rho e({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;{\frac {dE}{dt}}$

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho sdV\;+\;\int _{S}\rho s({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;{\frac {dS}{dt}}$

que pode ser escrita como

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\eta dV\;+\;\int _{S}\eta ({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;{\frac {d\zeta }{dt}}$

onde η é uma propriedade intensiva e ς, uma propriedade extensiva correspondente:

$\eta \in \{\rho ,\rho {\vec {v}},\rho ({\vec {r}}\times {\vec {v}}),\rho e,\rho s\}\qquad \zeta \in \{m,{\vec {M}},{\vec {\Omega }},E,S\}$

A maneira como as equações básicas foi derivada para um volume de controle é bastante genérica, de forma que a expressão pode ser estendida a qualquer par de propriedades relacionadas da forma

$\zeta \;=\;\int \eta dV$