Números primos/Números primos e frações

Conceitos Básicos

Números Racionais

Um número racional é aquele que pode ser escrito no formato $\textstyle {\frac {p}{q}}$, onde $p$ e $q$ são inteiros e $q$ é diferente de zero, ou seja, tem o formato de fração de inteiros.

Exemplos:

$1,{\frac {4}{5}},{\frac {2}{4}},{\frac {14}{7}}\,\!$ são números racionais.

Contra-exemplo: ${\sqrt {2}}$ não é um número racional.

Frações Irredutíveis

Uma fração x/y é dita irredutível se x e y são primos entre si. Ela não pode ser simplificada.

Representação decimal

Toda fração possui uma representação decimal. Para obtê-la basta dividirmos p por q.

Exemplos:

1. ${\frac {3}{4}}=0,75\,\!$
2. ${\frac {2}{3}}=0,{\bar {6}}\,\!$
3. ${\frac {7}{10}}=0,7\,\!$

Obs: No segundo exemplo, a barra colocada sobre o número 6 serve para representar que este algarismo se repete indefinidamente.

Representação decimal finita

Dizemos que uma fração p/q tem representação decimal finita se a divisão de p por q deixa, em algum instante resto zero, encerrando a divisão.

Representação decimal periódica

Dizemos que uma fração p/q tem representação decimal periódica se a divisão de p por q deixa, em nenhum instante deixa resto zero. A divisão continua indefinidamente, sendo que os restos possíveis para a divisão de p por q, a saber, 1, 2, 3, ..., q-1 se sucedem, sempre numa mesma ordem, infinitamente.

Período

Chamamos de período de uma representação decimal periódica de uma fração p/q ao conjunto de números que aparece no quociente após termos completado um ciclo de divisões nas quais apareçam todos os restos possíveis de q.

Exemplo: Obter a representação decimal de 5/7.

Efetuando esta divisão veremos que ela deixa restos 1, 3, 2, 6, 4 e 5, gerando um quociente igual a 0,714285. A partir deste ponto caímos novamente no 5 e todo o ciclo se repetirá. Se continuarmos a divisão passaremos novamente por 1, 3, 2, 6, 4 e 5 e obteremos um quociente igual a 0,714285714285. O número 714285 é o período da representação decimal periódica de 5/7, e por questão de conveniência costuma-se indicar isto colocando uma barra sobre todos eles na representação decimal: $0,{\overline {714285}}$.

Representação decimal e números primos

Qual o interesse das representações decimais no assunto dos números primos? É simples. Para toda fração irredutível p/q, a representação decimal desta será finita se, e somente se, o denominador q contiver apenas os fatores primos de 10, a saber, 2 e 5. Caso qualquer outro fator primo esteja presente, a representação decimal será periódica.

Assim, de maneira intuitiva, percebemos que o conceito de "número primo" tem relação não apenas com a divisibilidade (que é usada na própria definição) mas também com as propriedades que a representação dos números reais em uma determinada base de numeração (no caso, o sistema de numeração é decimal).

Representação decimal periódica e frações

Quando temos uma representação decimal periódica (ou uma dízima periódica) podemos representá-la em forma de fração através de regras simples ligadas ao período. Chamamos tal fração de geratriz da dízima periódica. Ao dividirmos o numerador pelo numerador da geratriz de uma dízima periódica devemos obter a dízima. Vamos definir estas regras.

Regras para obtenção da geratriz

1) Se o período possuir apenas um algarismo a dízima é dita periódica simples. Como regra geral, teremos que o numerador será este período e o denominador será 9.

Exemplo: $0,555555...={\frac {5}{9}}\,\!$

2) Se o período tiver mais de um algarismo, como regra geral, o numerador será o período e no denominador colocaremos tantos 9s quantos forem os algarismos do período.

Exemplo: $0,365365365...={\frac {365}{999}}\,\!$

3) Se além do período existir uma parte decimal não periódica, calculamos o numerador por considerar o resultado da subtração da parte não periódica do número formado pela concatenação da parte não periódica com o período. Para formar o denominador, juntamos tantos algarismos noves quantos forem os algarismos do período e, em seguida, juntamos tantos zeros quantos forem os algarismos da parte decimal não periódica.

Exemplos:

1. $0,1888888.....={\frac {(18-1)}{90}}={\frac {17}{90}}\,\!$
2. $0,34767676...={\frac {(3476-34)}{9900}}={\frac {3442}{9900}}\,\!$
3. $0,6454545...={\frac {(645-6)}{990}}={\frac {639}{990}}\,\!$

4) Se tivermos uma parte inteira no número ela deverá ser concatenada na parte não periódica quando calculamos o numerador, mas deverá ser ignorada na formação do denominador.

Exemplos:

1. $7,18888888...={\frac {(718-71)}{90}}={\frac {647}{90}}\,\!$
2. $35,34214214...={\frac {(3534214-3534)}{99900}}={\frac {3530680}{99900}}\,\!$