Notas de Mecânica/Definição do Centro de Massa

Caso de Duas partículasEditar

Sabemos de nosso estudo de dinâmica que para uma partícula, ou um corpo que se comporta como se fosse uma partícula:

 

Sabemos também que:

 

e também que:

 

desta forma:

 

ou seja :


 


e desta maneira podemos reescrever a segunda lei de Newton como :

 


Consideremos agora que temos 2 partículas de forma que uma partícula exerce uma força sobre a outra ( e pela terceira lei de Newton a reciproca sera verdadeira) e sobre cada uma delas temos também uma força externa aplicada como mostrado na figura abaixo:

Então temos para a partícula 1 :

 
 

Para a partícula 2:

 
 


Temos então:

 


Somando as equações de ambos os lados temos:

 

Pela terceira lei de Newton sabemos que :

 

desta forma:

 

 

 

Usando a definição da aceleração:

 

assumimos que   e   não variam no tempo e desta maneira pode mos escrever:

 

Como a soma de derivadas e a derivada da soma:

 


Multiplicando e divindo o lado direito da equação pela massa total do sistema   :

 

Se as massas das partículas não variam no tempo a sua soma também não vai variar no tempo:

 

Notemos que a dimensão do termo   tem dimensão de posição e segundo a equação acima esta quantidade se move como uma particula com massa igual a massa do sistema e como se todad a FORÇA EXTERNA fosse aplicada. Chamaremos esta quantidade de posição do centro de massa, ou seja:

 


Caso de N partículasEditar

Podemos generalizar esta quantidade se considerarmos um sistema de   partículas:


  onde  

ou de forma compacta:  

Lembremos que esta expressão é uma expressão vetorial, podemos apartir desta obter as coordenadas do centro de massa, para o caso em 3 dimensões teremos:


 

Velocidade e Aceleração do centro de massaEditar

Se o centro de massa do sistema se mover podemos calcular a velocidade do centro de massa pelo mesmo procedimento que adotamos no calculo da velocidade de uma partícula única isto é pela expressão:

 

se usarmos a expressão para o CM da partítula em termos da posição de cada partícula teremos:

 

Usando o fato das derivada da soma ser a soma das derivadas e também o fato que as massas das partículas não variarem no tempo teremos:

 

Ora, bem sabemos que   é a velocidade da partícula   desta forma obtemos que:

 

O mesmo tipo de raciocinio podemos fazer para obtemos a aceleração do CM :

 

se usarmos a expressão para a velocidade do CM da partítula que acabamos de obter:

 
 

Uma vez mais podemos usar o que estudamos na parte de cinemática de uma única partícula ao identificar   como a aceleração da partícula  , logo:

 


Novamente chamamos a atenção quanto a natureza vetorial das expressões da velocidade e da aceleração do CM, e igualmente ao que fizemos com o vetor posição centro de massa podemos agora escrever as coordenadas dos vetores velocidade e aceleração do CM do sistema: