Notas de Mecânica/Definição do Centro de Massa

Caso de Duas partículas

Sabemos de nosso estudo de dinâmica que para uma partícula, ou um corpo que se comporta como se fosse uma partícula:

${\vec {F}}_{res}=m{\vec {a}}$

Sabemos também que:

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$

e também que:

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$

desta forma:

${\vec {a}}={\frac {d}{dt}}{\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$

ou seja :

${\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}$

e desta maneira podemos reescrever a segunda lei de Newton como :

${\vec {F}}_{res}=m{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}$

Consideremos agora que temos 2 partículas de forma que uma partícula exerce uma força sobre a outra ( e pela terceira lei de Newton a reciproca sera verdadeira) e sobre cada uma delas temos também uma força externa aplicada como mostrado na figura abaixo:

Então temos para a partícula 1 :

${\vec {F}}_{res,1}=m_{1}{\vec {a}}_{1}$

${\vec {F}}_{ext,1}+{\vec {F}}_{2,1}=m_{1}{\vec {a}}_{1}$

Para a partícula 2:

${\vec {F}}_{res,2}=m_{2}{\vec {a}}_{2}$

${\vec {F}}_{ext,2}+{\vec {F}}_{1,2}=m_{2}{\vec {a}}_{2}$

Temos então:

${\begin{cases}{\vec {F}}_{ext,1}+{\vec {F}}_{2,1}=m_{1}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {F}}_{ext,2}+{\vec {F}}_{1,2}=m_{2}{\vec {a}}_{2}\end{cases}}$

Somando as equações de ambos os lados temos:

${\vec {F}}_{ext,1}+{\vec {F}}_{2,1}+{\vec {F}}_{ext,2}+{\vec {F}}_{1,2}=m_{1}{\vec {a}}_{1}+m_{2}{\vec {a}}_{2}$

Pela terceira lei de Newton sabemos que :

${\vec {F}}_{2,1}=-{\vec {F}}_{1,2}$

desta forma:

${\vec {F}}_{ext,1}{\cancel {-{\vec {F}}_{1,2}}}+{\vec {F}}_{ext,2}+{\cancel {{\vec {F}}_{1,2}}}=m_{1}{\vec {a}}_{1}+m_{2}{\vec {a}}_{2}$

${\vec {F}}_{ext,1}+{\vec {F}}_{ext,2}=m_{1}{\vec {a}}_{1}+m_{2}{\vec {a}}_{2}$

${\vec {F}}_{res,ext}=m_{1}{\vec {a}}_{1}+m_{2}{\vec {a}}_{2}$

Usando a definição da aceleração:

${\vec {F}}_{res,ext}=m_{1}{\frac {d^{2}{\vec {r}}_{1}}{dt^{2}}}+m_{2}{\frac {d^{2}{\vec {r}}_{2}}{dt^{2}}}$

assumimos que $m_{1}$ e $m_{2}$ não variam no tempo e desta maneira pode mos escrever:

${\vec {F}}_{res,ext}={\frac {d^{2}m_{1}{\vec {r}}_{1}}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}m_{2}{\vec {r}}_{2}}{dt^{2}}}$

Como a soma de derivadas e a derivada da soma:

${\vec {F}}_{res,ext}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\left(m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}\right)$

Multiplicando e divindo o lado direito da equação pela massa total do sistema $M=m_{1}+m_{2}$ :

${\vec {F}}_{res,ext}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\left(m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}\right){\frac {M}{M}}$

Se as massas das partículas não variam no tempo a sua soma também não vai variar no tempo:

${\vec {F}}_{res,ext}=M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\left({\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}}{M}}\right)$

Notemos que a dimensão do termo ${\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}}{M}}$ tem dimensão de posição e segundo a equação acima esta quantidade se move como uma particula com massa igual a massa do sistema e como se todad a FORÇA EXTERNA fosse aplicada. Chamaremos esta quantidade de posição do centro de massa, ou seja:

${\vec {r}}_{CM}\equiv {\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}}{M}}$

Caso de N partículas

Podemos generalizar esta quantidade se considerarmos um sistema de $N$ partículas:

${\vec {r}}_{CM}\equiv {\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}+\dots +m_{N}{\vec {r}}_{N}}{M}}$ onde $M=m_{1}+m_{2}+\dots \ m_{N}$

ou de forma compacta: ${\vec {r}}_{CM}\equiv {\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {r}}_{i}$

Lembremos que esta expressão é uma expressão vetorial, podemos apartir desta obter as coordenadas do centro de massa, para o caso em 3 dimensões teremos:

${\vec {r}}_{CM}\equiv {\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {r}}_{i}\Longrightarrow {\begin{cases}x_{CM}={\frac {1}{M}}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}x_{i}\\\\y_{CM}={\frac {1}{M}}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}y_{i}\\\\z_{CM}={\frac {1}{M}}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}z_{i}\end{cases}}$

Velocidade e Aceleração do centro de massa

Se o centro de massa do sistema se mover podemos calcular a velocidade do centro de massa pelo mesmo procedimento que adotamos no calculo da velocidade de uma partícula única isto é pela expressão:

${\vec {v}}_{CM}={\frac {d{\vec {r_{CM}}}}{dt}}$

se usarmos a expressão para o CM da partítula em termos da posição de cada partícula teremos:

${\vec {v}}_{CM}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {r}}_{i}\right)$

Usando o fato das derivada da soma ser a soma das derivadas e também o fato que as massas das partículas não variarem no tempo teremos:

${\vec {v}}_{CM}={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}$

Ora, bem sabemos que ${\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}$ é a velocidade da partícula $i$ desta forma obtemos que:

${\vec {v}}_{CM}={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {v}}_{i}$

O mesmo tipo de raciocinio podemos fazer para obtemos a aceleração do CM :

${\vec {a}}_{CM}={\frac {d{\vec {v_{CM}}}}{dt}}$

se usarmos a expressão para a velocidade do CM da partítula que acabamos de obter:

${\vec {a}}_{CM}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {v}}_{i}\right)$

${\vec {a}}_{CM}={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}$

Uma vez mais podemos usar o que estudamos na parte de cinemática de uma única partícula ao identificar ${\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}$ como a aceleração da partícula $i$, logo:

${\vec {a}}_{CM}={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {a}}_{i}$

Novamente chamamos a atenção quanto a natureza vetorial das expressões da velocidade e da aceleração do CM, e igualmente ao que fizemos com o vetor posição centro de massa podemos agora escrever as coordenadas dos vetores velocidade e aceleração do CM do sistema:

${\vec {v}}_{CM}={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {v}}_{i}\Longrightarrow {\begin{cases}v_{CM,x}={\frac {1}{M}}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{i,x}\\\\v_{CM,y}={\frac {1}{M}}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{i,y}\\\\v_{CM,z}={\frac {1}{M}}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{i,z}\end{cases}}\qquad ;\qquad {\vec {a}}_{CM}={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {v}}_{i}\Longrightarrow {\begin{cases}a_{CM,x}={\frac {1}{M}}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}a_{i,x}\\\\a_{CM,y}={\frac {1}{M}}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}a_{i,y}\\\\a_{CM,z}={\frac {1}{M}}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}a_{i,z}\end{cases}}$