Notas de Mecânica/Momentum de Inércia

Energia Cinética de Rotação

Analisaremos aqui a energia cinética de rotação de um corpo rígido.

Movimento circular de uma partícula única

Consideremos uma partícula de massa $m$ em um movimento circular de raio $r$ com velocidade $v$ de em torno de um eixo fixo. A partícula é mantida nesta trajetória circular por meio de uma haste fina e sem massa, a função desta haste é apenas manter a partícula nesta trajetória circular.

A energia cinética de rotação da partícula é simplesmente:

$K={\frac {1}{2}}mv^{2}$

Lembremos agora a relação entre variaveis lineares e angulares no movimento de rotação, em particular o que relaciona a velocidade e a velocidade angular de uma partícula a saber:

$v=\omega r$

Desta forma podemos reescrever a energia cinética como:

$K={\frac {1}{2}}m(\omega r)^{2}$

$K={\frac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}$

Movimento circular de um corpo rígido composto por duas partículas

Consideremos agora o movimento de rotação de duas partículas $1$ e $2$ respectivamente de massas $m_{1}$ e $m_{2}$ unidas por uma haste sem massa. O eixo fixo de rotação encontra-se a uma distância $r_{1}$ da partícula $1$ e a uma distância $r_{2}$ da partícula $2$, como ilustrado na figura. Cada partícula terá sua trajetória circular particular e portanto a velocidade de cada partícula em módulo será diferente.

A energia cinética de rotação deste sistema é:

$K={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\color {red}{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}}$

Contudo as partículas terão a mesma velocidade angular $\omega$, e desta forma podemos usar: $v_{1}=r_{1}\omega ;{\color {red}v_{2}=r_{2}\omega }$ Logo podemos reescrever a energia cinética como:

$K={\frac {1}{2}}m_{1}(r_{1}\omega )^{2}+{\color {red}{\frac {1}{2}}m_{2}(r_{2}\omega )^{2}}$

$K={\frac {1}{2}}m_{1}r_{1}^{2}\omega ^{2}+{\color {red}{\frac {1}{2}}m_{2}r_{2}^{2}\omega ^{2}}$

$K={\frac {1}{2}}(m_{1}r_{1}^{2}+{\color {red}m_{2}r_{2}^{2}})\omega ^{2}$

Movimento circular de um corpo rígido composto por $N$ partículas

Consideramos agora a rotação de um corpo rigido em forma de uma placa fina (sem espessura) em torno de um eixo fixo no sentido antihorário, indicado na figura, que é perpendicular ao plano desta placa. Esta placa é composta de $N$ partículas cada uma localizada a $r_{i}$ do eixo e com massa $m_{i}$ .

A energia cinética deste sistema de $N$ partículas é dada pela soma da energia cinética das partículas que o compoem:

$K={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}+\dots +{\frac {1}{2}}m_{N}v_{N}^{2}$

Usamos agora que: $v_{i}=r_{i}\omega$

$K={\frac {1}{2}}m_{1}(r_{1}\omega )^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}(r_{2}\omega )^{2}+\dots +{\frac {1}{2}}m_{N}(r_{N}\omega )^{2}$

$K={\frac {1}{2}}(m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\dots +m_{N}r_{N}^{2})\omega ^{2}$

De maneira compacta:

$K={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}\right)\omega ^{2}$

Definição do momento de inércia

Acabamos de obter a energia cinética de um corpo que é composto de $N$ partículas, que reescrevemos como:

$K={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

onde:

$I\equiv \sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}$

Se agora compararmos com a energia de translação deste corpo:

$K={\frac {1}{2}}MV^{2}$

onde $M=m_{1}+m_{2}+\dots +m_{N}$

Podemos interpretar $I$ equação anterior como sendo uma medida da dificuldade de colocar um corpo em movimento de rotação ou mudar este movimento, assim como a massa $M$ do corpo é uma medida da dificuldade de colocar um corpo em movimento de translação ou mudar o movimento de translação do corpo. Chamaremos então a quantidade $I$ de momentum de inércia do corpo ou inércia rotacional do corpo.

A unidade desta quantidade no SI é o $kg\,m^{2}$

Propriedades do Momentum de inércia

O exemplo a seguir tem por intuito exemplificar uma das características do momentum de inércia:

Consideremos um corpo que é composto por duas partículas de massa $m_{1}=5kg$ e $m_{2}=15kg$ que estão conectadas por uma haste fina e sem massa de comprimento $L=10m$.

a) Qual é o momentum de inércia do corpo considerando um eixo de rotação que passa pela partícula 1 e é perpendicular a haste?

$I=m_{1}r_{1}^{2}+{\color {red}m_{2}r_{2}^{2}}$

$I=5(0)^{2}+{\color {red}15(10)^{2}}$

$I=150kg\,m^{2}$

b) Qual é o momentum de inércia do corpo considerando um eixo de rotação que passa pela partícula 2 e é perpendicular a haste?

$I=m_{1}r_{1}^{2}+{\color {red}m_{2}r_{2}^{2}}$

$I=5(10)^{2}+{\color {red}15(0)^{2}}$

$I=50kg\,m^{2}$

Resumindo os dois casos :

$I=150kg\,m^{2}$

$I=50kg\,m^{2}$

Notamos que um mesmo corpo pode ter momenta de inércia diferentes dependendo do eixo em torno do qual estamos girando o corpo. No exemplo anterior a inércia rotacional é maior em torno do eixo que passa pela partícula 1 do que o eixo que passa pela partícula 2, ou seja: O momentum de inércia é uma quantidade que depende do eixo que estamos girando o corpo.

Uma pergunta natural que podemos fazer agora é:

Em torno de que eixo a inércia rotacional possivel? Será o eixo que passa pela partícula 2 realmente a menor?

Para responder esta pergunta consideremos um caso genérico.

Cosideremos um eixo de rotação genérico distante $x$ da partícula 1 e perpendicular a haste.

a) Qual é o momentum de inércia em torno deste eixo genérico.

$I=m_{1}r_{1}^{2}+{\color {red}m_{2}r_{2}^{2}}$

$I=m_{1}x^{2}+{\color {red}m_{2}(L-x)^{2}}$

$I=m_{1}x^{2}+{\color {red}m_{2}(L^{2}-2Lx+x^{2})}$

b) Para qual valor de $x$ teremos um mínimo de $I=I(x)$?

Usaremos as condições de mínimo que você aprendeu nas suas aulas de cálculo:

${\frac {dI}{dx}}=0$

${\frac {d^{2}I}{dx^{2}}}>0$

${\frac {dI}{dx}}=0\Rightarrow {\frac {d(m_{1}x^{2}+{\color {red}m_{2}(L^{2}-2Lx+x^{2})})}{dx}}=0$

$2m_{1}x+{\color {red}m_{2}(-2L+2x)}=0$

$x={\frac {m_{2}L}{m_{1}+m_{2}}}$

${\frac {d^{2}I}{dx^{2}}}={\frac {d(2m_{1}x+{\color {red}m_{2}(-2L+2x)})}{dx}}=2m_{1}+{\color {red}2m_{2}}>0$

Logo o $x$ calculado é realmente um mínimo

$x={\frac {m_{2}L}{m_{1}+m_{2}}}\Rightarrow I=I_{minimo}$

Notemos que este valor de $x$ é a posição do centro de massa colocando nossa origem sobre a partícula 1: Lembremos que a posição do CM de um sistema de partícula é dado por

$x_{CM}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\Rightarrow x_{CM}={\frac {m_{1}0+m_{2}L}{m_{1}+m_{2}}}$

Logo podemos concluir que o eixo que nos dá o menor momentum de inércia possível é aquele que passa pelo centro de massa do corpo.

E para nosso exemplo este momento de inércia mínimo é:

$I=m_{1}x^{2}+{\color {red}m_{2}(L-x)^{2}}$

$I=m_{1}({\frac {m_{2}L}{m_{1}+m_{2}}})^{2}+{\color {red}m_{2}(L-{\frac {m_{2}L}{m_{1}+m_{2}}})^{2}}$

$I=m_{1}({\frac {m_{2}L}{m_{1}+m_{2}}})^{2}+{\color {red}m_{2}({\frac {m_{1}L}{m_{1}+m_{2}}})^{2}}$

$I={\frac {L^{2}(m_{1}m_{2}^{2}+m_{2}m_{1}^{2})}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}$