Notas de Mecânica/Momentum de Inércia

Energia Cinética de RotaçãoEditar

Analisaremos aqui a energia cinética de rotação de um corpo rígido.

Movimento circular de uma partícula únicaEditar

Consideremos uma partícula de massa   em um movimento circular de raio   com velocidade   de em torno de um eixo fixo. A partícula é mantida nesta trajetória circular por meio de uma haste fina e sem massa, a função desta haste é apenas manter a partícula nesta trajetória circular.



A energia cinética de rotação da partícula é simplesmente:


 


Lembremos agora a relação entre variaveis lineares e angulares no movimento de rotação, em particular o que relaciona a velocidade e a velocidade angular de uma partícula a saber:

 

Desta forma podemos reescrever a energia cinética como:

 
 


Movimento circular de um corpo rígido composto por duas partículasEditar

Consideremos agora o movimento de rotação de duas partículas   e   respectivamente de massas   e   unidas por uma haste sem massa. O eixo fixo de rotação encontra-se a uma distância   da partícula   e a uma distância   da partícula  , como ilustrado na figura. Cada partícula terá sua trajetória circular particular e portanto a velocidade de cada partícula em módulo será diferente.

A energia cinética de rotação deste sistema é:

 

Contudo as partículas terão a mesma velocidade angular  , e desta forma podemos usar:   Logo podemos reescrever a energia cinética como:


 
 
 


Movimento circular de um corpo rígido composto por   partículasEditar

Consideramos agora a rotação de um corpo rigido em forma de uma placa fina (sem espessura) em torno de um eixo fixo no sentido antihorário, indicado na figura, que é perpendicular ao plano desta placa. Esta placa é composta de   partículas cada uma localizada a   do eixo e com massa   .

A energia cinética deste sistema de $N$ partículas é dada pela soma da energia cinética das partículas que o compoem:

 

Usamos agora que:  

 
 


De maneira compacta:

 


Definição do momento de inérciaEditar

Acabamos de obter a energia cinética de um corpo que é composto de   partículas, que reescrevemos como:

 

onde:


 

Se agora compararmos com a energia de translação deste corpo:

 

onde  


Podemos interpretar   equação anterior como sendo uma medida da dificuldade de colocar um corpo em movimento de rotação ou mudar este movimento, assim como a massa   do corpo é uma medida da dificuldade de colocar um corpo em movimento de translação ou mudar o movimento de translação do corpo. Chamaremos então a quantidade   de momentum de inércia do corpo ou inércia rotacional do corpo.

A unidade desta quantidade no SI é o  

Propriedades do Momentum de inérciaEditar

O exemplo a seguir tem por intuito exemplificar uma das características do momentum de inércia:


Consideremos um corpo que é composto por duas partículas de massa   e   que estão conectadas por uma haste fina e sem massa de comprimento  .

a) Qual é o momentum de inércia do corpo considerando um eixo de rotação que passa pela partícula 1 e é perpendicular a haste?


 
 
 


b) Qual é o momentum de inércia do corpo considerando um eixo de rotação que passa pela partícula 2 e é perpendicular a haste?

 
 
 


Resumindo os dois casos :


 
 




Notamos que um mesmo corpo pode ter momenta de inércia diferentes dependendo do eixo em torno do qual estamos girando o corpo. No exemplo anterior a inércia rotacional é maior em torno do eixo que passa pela partícula 1 do que o eixo que passa pela partícula 2, ou seja: O momentum de inércia é uma quantidade que depende do eixo que estamos girando o corpo.

Uma pergunta natural que podemos fazer agora é:


Em torno de que eixo a inércia rotacional possivel? Será o eixo que passa pela partícula 2 realmente a menor?

Para responder esta pergunta consideremos um caso genérico.



Cosideremos um eixo de rotação genérico distante   da partícula 1 e perpendicular a haste.

a) Qual é o momentum de inércia em torno deste eixo genérico.


 
 
 


b) Para qual valor de   teremos um mínimo de  ?

Usaremos as condições de mínimo que você aprendeu nas suas aulas de cálculo:


 
 


 
 


 


 


Logo o   calculado é realmente um mínimo



 

Notemos que este valor de   é a posição do centro de massa colocando nossa origem sobre a partícula 1: Lembremos que a posição do CM de um sistema de partícula é dado por

 

Logo podemos concluir que o eixo que nos dá o menor momentum de inércia possível é aquele que passa pelo centro de massa do corpo.

E para nosso exemplo este momento de inércia mínimo é: