O Formalismo Hiperdecimal dos Números/A Radiciação Cúbica pelo Método Maciel

Diante da Radiciação Quadrática o método Maciel organiza os transportes entre as ordens do virtual produto duplo do número alfabético que indica a raiz quadrada procurada. Do mesmíssimo modo o método Maciel trata a Radiciação Cúbica como o produto triplo do número alfabético que indica a raiz cúbica procurada.

Embora o nível de dificuldade seja praticamente o mesmo entre os dois tipos de radiciação, há dois fatores importantes a se considerar. Primeiramente, para uma mesma quantidade de dígitos de precisão para a raiz, a operação cúbica gera muito mais ordens de imprecisão. Por segundo, o modo de recorrência para as operações cúbicas não é tão óbvio quanto para as operações quadráticas, mas ainda assim são aplicáveis.

Radiciação Cúbica Exata

• Ex. 1: ${\sqrt[{3}]{2.197}}$

Um produto triplo de números alfabéticos com 2 dígitos resultaria:

(ab x ab) x ab = (aa.(ab+ba).bb) x ab = aa.2ab.bb x ab = aaa.(aab+2aab).(2abb+abb).bbb = aaa.3aab.3abb.bbb

O radicando possui 3 ou 4 ordens hiperdecimais. Adequando-o ao produto alfabético:

Hiperdecimal	01	09	27	27
Transporte	02	11	29	27	00
Radicando	02	01	09	07
Raiz	a	b
	1	3
	aaa 01	3aab 3b 09	3abb 3bb 27	bbb 27

Para a 1ª ordem, a = 1 ou a = 0. Como a = 1 garante os transportes, é o valor suficiente.

A equação hiperdecimal 3b = 11 só admite «b» menor ou igual a 3, pois 3.4 = 12 > 11. Como apontado, b = 3 resolve o sistema.

Como esperado, a linha do Transporte já informa a prova real.

• Ex. 2: ${\sqrt[{3}]{592.704}}$

A radiciação solicitada, por mais incrível que possa parecer, também possui 2 dígitos na raiz.

Uma regra fundamental da radiciação é que a primeira ordem hiperdecimal pode possuir o máximo valor para a máxima possibilidade de primeiro dígito. No caso das radiciações cúbicas a 1ª ordem pode possuir até 9 x 9 x 9 = 81 x 9 = 72.09 = 729 como valor.

Logo, o hiperdecimal a ser considerado na radiciação será 592.07.00.04:

Hiperdecimal	512	768	384	64
Transporte	592	807	390	64	00
Radicando	592	07	00	04
Raiz	a	b
	8	4
	aaa 512	3aab 192b 768	3abb 24bb 384	bbb 64

Para a 1ª ordem, se a = 8, 8 x 8 x 8 = 64 x 8 = 48.32 = 512, que garante transporte suficiente às demais ordens.

A 2ª equação hiperdecimal é 192b = 807. Se b = 5, 192 x 5 = 05.45.10 = 960 > 807.

Se b = 4, 192 x 4 = 04.36.08 = 768. 807 - 768 = 39. Para a 3ª ordem: 24 x 16 = 02.12 + 00.04.24 = 02.16.24 = 384. Isso garante o último transporte necessário.

• Ex. 3: ${\sqrt[{3}]{7.645.373}}$

O produto triplo do número alfabético de 3 dígitos é:

(abc x abc) x abc = (aa.(ab+ba).(ac+bb+ca).(bc+cb).cc) x abc = aa.2ab.(bb+2ac).2bc.cc x abc =

	aaa	2aab	abb+2aac	2abc	acc
+		aab	2abb	bbb+2abc	2bbc	bcc
+			aac	2abc	bbc+2acc	2bcc	ccc
=	aaa	3aab	3abb	bbb	3bbc	3bcc	ccc
			3aac	6abc	3acc

O radicando possui 7 ordens. Logo, sua representação hiperdecimal é a simplória:

Hiperdecimal	01	27	264	1107	1848	1323	343
Transporte	07	66	394	1305	1983	1357	343
Radicando	07	06	04	05	03	07	03
Raiz	a	b	c
	1	9	7
	aaa 01	3aab 3b 27	3abb 3bb 243	bbb 729	3bbc 243c 1701	3bcc 27cc 1323	ccc 343
			3aac 3c 21	6abc 6bc 54c 378	3acc 3cc 147

A 1ª ordem requer a = 1, pois, se a = 2, 2 x 2 x 2 = 8 > 7.

A 2ª ordem tolera b = 9; na 3ª ordem há 414 - 243 = 171 para transportar à 4ª ordem, e 1715 > 729. Logo, os transportes são suficientes.

Supondo c = 9:

Hiperdecimal	01	27	270	1215	2430	2187	729
Transporte	07	66	394	1245	303 (!)
Radicando	07	06	04	05	03	07	03
Raiz	a	b	c
	1	9	9
	aaa 01	3aab 3b 27	3abb 3bb 243	bbb 729	3bbc 243c 2187	3bcc 27cc 2187	ccc 729
			3aac 3c 27	6abc 6bc 54c 486	3acc 3cc 243

Supondo c = 8:

Hiperdecimal	01	27	267	1161	2136	1728	512
Transporte	07	66	394	1275	1143 (!)
Radicando	07	06	04	05	03	07	03
Raiz	a	b	c
	1	9	8
	aaa 01	3aab 3b 27	3abb 3bb 243	bbb 729	3bbc 243c 1944	3bcc 27cc 1728	ccc 512
			3aac 3c 24	6abc 6bc 54c 432	3acc 3cc 192

Como esperado, a linha do Transporte já indica a correção da raiz cúbica calculada. Os cálculos para as propostas de raiz 199 e 198 apontam para a validade do critério de se testar a adequação dos transportes para as duas ordens subsequentes à ordem em questão.

Radiciação Cúbica Exata com Dízimas

A Radiciação Cúbica de números com dízimas segue a mesma lógica da Radiciação Quadrática, bastando tomar a ordem de 10 adequada para a operação.

• Ex. 4: ${\sqrt[{3}]{13.430,356633}}$

O equivalente em base 10 do radicando é 13.430.356.633.10^-6. Vale o mesmo princípio do que para a radiciação quadrática. Lá, a quantidade de dígitos do radicando era o dobro do número de dígitos da raiz menos 1; aqui é o triplo menos 1. Ou seja, uma raiz com 4 dígitos implica um radicando com até 4 x 3 - 1 = 11 dígitos, que é o caso.

Calculando o produto triplo do número alfabético de 4 dígitos:

abcd x abcd =

	aa	ab	ac	ad
+		ba	bb	bc	bd
+			ca	cb	cc	cd
+				da	db	dc	dd
=	aa	2ab	bb	2bc	cc	2cd	dd
			2ac	2ad	2bd

abcd x (abcd x abcd) =

	aaa	2aab	abb 2aac	2abc 2aad	acc 2adb	2acd	add
+		aab	2abb	bbb 2abc	2bbc 2abd	bcc 2bbd	2bcd	bdd
+			aac	2abc	bbc 2acc	2bcc 2acd	ccc 2bcd	2ccd	cdd
+				aad	2abd	bbd 2acd	2bcd 2add	ccd 2bdd	2cdd	ddd
=	aaa	3aab	3abb	bbb	3acc	3bcc	ccc	3bdd	3cdd	ddd
			3aac	3aad	3bbc	3bbd	3add	3ccd
				6abc	6abd	6acd	6bcd

Calculando a raiz do equivalente inteiro do radicando com 10 ordens hiperdecimais:

Parciais	08	36	54 138	27 111 363	294 483 735	441 630 1218	343 637 1519	441 1470	1029	343
Hiperdecimal	08	36	138	363	735	1218	1519	1470	1029	343
Transporte	13	54	183	450	873	1385	1676	1576	1063	343
Radicando	13	04	03	00	03	05	06	06	03	03
Raiz	a	b	c	d
	2	3	7	7
	aaa 08	3aab 12b 36	3abb 6bb 54	bbb 27	3acc 6cc 294	3bcc 9cc 441	ccc 343	3bdd 9dd 441	3cdd 21dd 1029	ddd 343
			3aac 12c 84	3aad 12d 84	3bbc 27c 189	3bbd 27d 189	3add 6dd 294	3ccd 147d 1029
				6abc 12bc 36c 252	6abd 12bd 36d 252	6acd 12cd 84d 588	6bcd 18cd 126d 882

Logo, a resultante é ${\sqrt[{3}]{13.430.356.633}}$ x ${\sqrt[{3}]{10^{-6}}}$ = 2.377.10^-2 = 23,77.

Embora os cálculos sejam um pouco mais trabalhosos do que na radiciação quadrática, o método ainda é factível manualmente.

Radiciação Cúbica Infinita

A radiciação cúbica infinita em relação à radiciação finita, assim como na radiciação quadrática, não representa um aumento significativo de dificuldade quanto aos cálculos. A única complicação aqui consiste na compreensão da expansão dos dígitos do modo de recorrência, pois a forma cúbica não é tão simples quanto a forma quadrática no que se refere ao aumento da precisão.

Para compreender os desenvolvimentos dos produtos triplos alfabéticos se deve recorrer à teoria dos Multinômios. Embora o multinômio se dê em previsão da potenciação da soma de incógnitas, ela se ajusta ao cálculo dos índices das ordens hiperdecimais em relação ao número alfabético que representa a raiz de interesse.

Teoria Multinomial Clássica: $(x_{1}+x_{2}+...+x_{m})^{n}=\sum _{k_{1},k_{2},...,k_{m}}{\binom {n}{k_{1},k_{2},...,k_{m}}}(x_{1})^{k_{1}}.(x_{2})^{k_{2}}...(x_{m})^{k_{m}}$

com ${\binom {n}{k_{1},k_{2},...,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!...k_{m}!}}$ atendendo à condição de que $\sum _{i=1}^{m}k_{i}=n$

O Multinômio Hiperdecimal é concebido a partir das possibilidades de combinação da incógnita aumentada em relação às anteriores.

A teoria multinomial para 3 índices é: $\sum _{k_{1},k_{2},k_{3}}{\frac {3!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!}}(x_{1})^{k_{1}}.(x_{2})^{k_{2}}.(x_{3})^{k_{3}}$

Uma vez que 3! = 3.2 = 6, os índices que acompanham as ordens só podem ter 3 possibilidades, pois, como k₁ + k₂ + k₃ = 3, os «k» só podem se originar da combinação aleatória dos trios (3,0,0), (2,1,0) ou (1,1,1). As combinações do trio 3-0-0 tem fatorial 6, ou seja, índice 1 às ordens hiperdecimais; o trio 2-1-0 tem fatorial 2, gerando índice 3; o trio 1-1-1 tem fatorial 1, gerando índice 6.

As 2 primeiras ordens assim se apresentariam no modo de recorrência:

a	aaa
b		3aab	3abb	bbb

As 3 primeiras ordens:

a	aaa
b		3aab	3abb	bbb
c			3aac	6abc	3acc 3bbc	3bcc	ccc

As 4 primeiras ordens:

a	aaa
b		3aab	3abb	bbb
c			3aac	6abc	3acc 3bbc	3bcc	ccc
d				3aad	6abd	6acd 3bbd	3add 3bcd	3bdd 3ccd	3cdd	ddd

As 5 primeiras ordens:

a

aaa

b

3aab

3abb

bbb

c

3aac

6abc

3acc 3bbc

3bcc

ccc

d

3aad

6abd

6acd 3bbd

3add 3bcd

3bdd 3ccd

3cdd

ddd

e

3aae

6abe

6ace 3bbe

6ade 6bce

3aee 6bde 3cce

3bee 6cde

3cee 3dde

3dee

eee

As 6 primeiras ordens:

a

aaa

b

3aab

3abb

bbb

c

3aac

6abc

3acc 3bbc

3bcc

ccc

d

3aad

6abd

6acd 3bbd

3add 6bcd

3bdd 3ccd

3cdd

ddd

e

3aae

6abe

6ace 3bbe

6ade 6bce

3aee 6bde 3cce

3bee 6cde

3cee 3dde

3dee

eee

f

3aaf

6abf

6acf 3bbf

6adf 6bcf

6aef 6bdf 3ccf

3aff 6bef 6cdf

3bff 6cef 3ddf

3cff 6def

3dff 3eef

3eff

fff

Com tais modos de recorrência se pode operar as radiciações cúbicas até a ordem de precisão que se deseje.

• Ex. 5: ${\sqrt[{3}]{243,85}}$

A 1ª ordem atende à condição de aaa < 243.

Se a = 9, aaa = 9 x 81 = 729 > 243. Se a = 8, aaa = 8 x 64 = 48.32 = 512 > 243.

Se a = 7, aaa = 7 x 49 = 28.63 = 343 > 243. Se a = 6, aaa = 6 x 36 = 18.36 = 216 < 243.

Logo, a = 6 é a resposta adequada à primeira incógnita. Transporta-se 243 - 216 = 27. A segunda ordem, no modo de recorrência, assim é determinada:

Hiperdecimal	216;	216	72	08
Transporte	243;	278	625
Radicando	243;	08	05
Raiz	a,	b
	6,	2
		3aab 108b 216	3abb 18bb 72	bbb 08

A principal equação a se resolver é 108b = 278. Se b = 3, 108 x 3 = 324 > 278. Com b = 2 os transportes se tornam suficientes.

Parciais	72 504	08 296	288 336	96	64
Hiperdecimal	504
Transporte	625	1210
Radicando	05
Raiz	a,	b	c
	6,	2	4
	3aac 108c 432	6abc 36bc 72c 288	3acc 18cc 288	3bcc 6cc 96	ccc 64
			3bbc 12c 48

A equação hiperdecimal a se resolver é 108c = 625 - 72 = 553. Se c = 5, 108 x 5 = 540 > 553. Com c = 4 os transportes se tornam suficientes.

Parciais	296 1052	336 840	96 1104 1188	64 946 1282	294 630	588	343
Hiperdecimal	1052
Transporte	1210	1580
Radicando
Raiz	a,	b	c	d
	6,	2	4	7
	3aad 108d 756	6abd 36bd 72d 504	6acd 36cd 144d 1008	3add 18dd 882	3bdd 6dd 294	3cdd 12dd 588	ddd 343
			3bbd 12d 84	6bcd 12cd 48d 336	3ccd 48d 336

A equação hiperdecimal a se resolver é 108d = 1210 - 288 = 922.

Se d = 9, 108 x 9 = 972 > 922.

Se d = 8, 108 x 8 = 864 < 922, transportando 58. Na 2ª ordem se tem 72d = 72 x 8 = 576 que somado a 336 da parcial anterior resultaria 912. Mas o limite da ordem é 580, o que torna a opção inviável.

Parciais	840 1380	1188 1548	1282 2002 2062	630 1890 2130	588 1038 1458 1698	343 493 1333	300 1035	525	125
Hiperdecimal	1380
Transporte	1660	2800
Radicando
Raiz	a,	b	c	d	e
	6,	2	4	7	5
	3aae 108e 540	6abe 36be 72e 360	6ace 36ce 144e 720	6ade 36de 252e 1260	3aee 18ee 450	3bee 6ee 150	3cee 12ee 300	3dee 21ee 525	eee 125
			3bbe 12e 60	6bce 12ce 48e 240	6bde 12de 84e 420	6cde 24de 168e 840	3dde 147e 735
					3cce 48e 240

A equação hiperdecimal a se resolver é 108e = 1660 - 840 = 820. Se e = 8, 108 x 8 = 864 > 820.

Se e = 7, 108 x 7 = 756 < 820. Na segunda ordem se transporta (820 - 756 = 64) x 10 = 640, mas teria de atender o 1188 da parcial anterior.

Se e = 6, 108 x 6 = 648. Transporta-se (820 - 648 = 172) x 10 = 1720, que satisfaz a parcial anterior. 72e = 432, 1188 + 432 = 1620. Transporta-se (1720 - 1620 = 100) x 10 = 1000 para a 3ª ordem, mas é insuficiente ante o 1282 da parcial anterior.

Portanto, a raiz cúbica parcial de 243,85 é 6,2475.

A prova real é: 216 ; 216.504.1052.1380.1548.2062.2130.1698.1333.1035.525.125 →

243 ; 278|624|1207|1557|1777|2293|2314|1842|1441|1088|537|125 → 243,847 773 421 875

O erro é inferior a 0,003 ou, mais precisamente, 0,002 226 578 125.