O Formalismo Hiperdecimal dos Números/Aplicações do Método Maciel na Radiciação
No formalismo decimal são previstos alguns mecanismos de aproximação no cálculo de raízes quadradas; a vantagem dos mesmos consiste na velocidade e praticidade com que se pode atingir valores de precisão bastante aceitável.
O único método de se calcular a radiciação de modo exato no formalismo decimal consiste no teste compulsório dos candidatos a raízes, mantendo os produtos dos mesmos o mais próximo possível do valor dos radicandos. Entretanto, o método clássico de se operar a multiplicação torna esse modo extremamente repetitivo e lento.
Desprezando-se tal limitação, a busca compulsória por cada dígito de uma raiz é uma ideia realmente boa, e o Método Maciel pode ser adaptado para contemplar tal possibilidade. De fato, o método Maciel transforma a radiciação em uma espécie de divisão, pois supõe uma multiplicação do tipo abc... x abc... cujo produto tende à representação hiperdecimal do radicando.
Assim sendo, não importa se o radicando é inteiro ou dotado de dízimas, ou se a raiz é finita ou infinita. O Método Maciel permite o cálculo exato de tal operação com a precisão que se necessite, por causa de sua propriedade da extensibilidade, que pode ser adaptada para um eficiente método de recorrência.
Cálculo de Raízes Quadradas Exatas
editar- Ex. 1:
Supondo o radicando na forma hiperdecimal fundamental 94.00.09, é de se supor que a raiz seja do tipo ab x ab = aa.2ab.bb, uma vez que uma raiz do tipo abc x abc = aa.(ab+ba).(ac+bb+ca).(bc+cb).cc teria 5 ordens na parte inteira, excedendo as 4 ordens da forma hiperdecimal simples do radicando.
| Soma parcial | 81 | 126 | 49 | |
| Hiperdecimal | 81 | 126 | 49 | |
| Transporte | 94 | 130 | 49 | 00 |
| Radicando | 94 | 00 | 09 | |
| Raiz | a | b | ||
| 9 | 7 | |||
| a | aa
81 |
ab
9b 63 |
||
| b | ba
9b 63 |
bb
49 |
O procedimento é particularmente simples: A 1ª ordem deve resultar até 94; o 1º palpite é a = 9, que resulta aa = 81. Isso implicaria em (94 - 81 = 13) x 10 = 130 de transporte à 2ª ordem, o que é viável.
A 2ª ordem resulta 18b = 130.
b = 9 → 18 x 9 = 09.72 = 162 > 130 → inviável.
b = 8 → 18 x 8 = 08.64 = 144 > 130 → inviável.
b = 7 → 18 x 7 = 07.56 = 126 < 130
Se b = 7, a 3ª ordem resultaria bb = 49. O transporte seria de ((130 - 126 = 4) x 10 = 40) + 9 = 49, o que torna a opção viável.
A raiz calculada é 97. Como acontecia na divisão hiperdecimal, também na radiciação hiperdecimal pelo método Maciel a linha do Transporte indica a prova real para o caso de operações finitas.
- Ex. 2:
80.05.07.03.09.06.01.06.09, por possuir 9 ou 10 ordens hiperdecimais, deve possuir uma raiz com 5 ordens.
| Soma parcial | 64 | 72
144 |
81
137 193 |
63
126 174 222 |
49
103 157 181 205 |
42
84 111 138 |
36
57 78 |
18
36 |
09 | |
| Hiperdecimal | 64 | 144 | 193 | 222 | 205 | 138 | 78 | 36 | 09 | |
| Transporte | 80 | 165 | 217 | 243 | 219 | 146 | 81 | 36 | 09 | 00 |
| Radicando | 80 | 05 | 07 | 03 | 09 | 06 | 01 | 06 | 09 | |
| Raiz | a | b | c | d | e | |||||
| 8 | 9 | 7 | 6 | 3 | ||||||
| a | aa
64 |
ab
8b 72 |
ac
8c 56 |
ad
8d 48 |
ae
8e 24 |
|||||
| b | ba
8b 72 |
bb
81 |
bc
9c 63 |
bd
9d 54 |
be
9e 27 |
|||||
| c | ca
8c 56 |
cb
9c 63 |
cc
49 |
cd
7d 42 |
ce
7e 21 |
|||||
| d | da
8d 48 |
db
9d 54 |
dc
7d 42 |
dd
36 |
de
6e 18 |
|||||
| e | ea
8e 24 |
eb
9e 27 |
ec
7e 21 |
ed
6e 18 |
ee
09 |
A linha do Transporte indica o ultradecimal do radicando e a exatidão do valor obtido para a raiz, 89.763.
Assim como na divisão hiperdecimal, também na radiciação há a regra da adequação dos transportes às duas ordens seguintes. Na radiciação acontece tal fato por causa dos índices com fatores dobrados (aa, bb, cc,...)., cujos transportes devem ser minimamente satisfeitos.
Há duas observações importantes quanto à radiciação hiperdecimal. A 1ª é que os produtos alfabéticos podem ser simplificados para as somas dos fatores semelhantes nas mesmas ordens. A 2ª observação é que os radicandos sempre terão o dobro menos 1 ordens hiperdecimais em relação à parte inteira de sua raiz.
- Ex. 3:
O radicando pode ser expresso como 75.067.232.256.10-6. Isso indica que a raiz será da forma abcdef.10-3
| Soma parcial | 04 | 28 | 49
61 |
42
78 |
09
135 167 |
54
166 182 |
81
129 185 |
144
168 |
64
136 |
64 | 16 | |
| Hiperdecimal | 04 | 28 | 61 | 78 | 167 | 182 | 185 | 168 | 136 | 64 | 16 | |
| Transporte | 07 | 35 | 70 | 96 | 187 | 202 | 203 | 182 | 142 | 65 | 16 | 00 |
| Radicando | 07 | 05 | 00 | 06 | 07 | 02 | 03 | 02 | 02 | 05 | 06 | |
| Raiz | a | b | c | d | e | f | ||||||
| 2 | 7 | 3 | 9 | 8 | 4 | |||||||
| a | aa
04 |
bb
49 |
cc
09 |
dd
81 |
ee
64 |
ff
16 |
||||||
| b | 2ab
4b 28 |
2bc
14c 42 |
2cd
6d 54 |
2de
18e 144 |
2ef
16f 64 |
|||||||
| c | 2ac
4c 12 |
2bd
14d 126 |
2ce
6e 48 |
2df
18f 72 |
||||||||
| d | 2ad
4d 36 |
2be
14e 112 |
2cf
6f 24 |
|||||||||
| e | 2ae
4e 32 |
2bf
14f 56 |
||||||||||
| f | 2af
4f 16 |
A raiz é 273,984.
A partir da estrutura triangular é possível inferir que qualquer dígito a mais para a raiz implica em uma nova diagonal constituída pelo produto deste novo dígito por todos os dígitos da raiz, ele incluso. Também é possível inferir que a precisão da raiz obtida se dá até a ordem em que se encontra a ponta do triângulo.
A partir dessas duas inferências importantíssimas é possível estabelecer o Modo de Recorrência do Método Maciel, uma ferramenta capaz de simplificar mais ainda a busca pelos novos dígitos de uma raiz qualquer.
O Modo de Recorrência do Método Maciel
editarAs vantagens do Modo de Recorrência são muitas, mas 2 são particularmente importantes.
A 1ª vantagem é que a recorrência dispensa o palpite inicial de dígitos para a raiz, pois o método Maciel indica claramente quando a operação atinge o fim, nos casos em que ele existe.
A 2ª vantagem é que se torna muito fácil calcular o valor do dígito em questão diante do critério do atendimento mínimo aos transportes para as duas ordens seguintes.
- Ex. 4:
Se o radicando possui 12 dígitos decimais, isso indica que ele deve ser constituído de 11 ou 12 ordens hiperdecimais, indicando que a raiz deve possuir 6 ordens na parte inteira, pois há o critério de que as ordens do radicando hiperdecimal tenham de resultar o dobro menos 1 do número de ordens da raiz, (6 x 2) - 1 = 11. Portanto, a forma hiperdecimal do radicando a se considerar é 54.06.03.05.01.05.09.02.03.03.06.
O Modo de Recorrência possui a mesma estrutura do modo Maciel convencional. Apenas a última parte é que muda, apresentando-se apenas a diagonal da incógnita em questão, em forma linear. A recorrência consiste na transferência dos dados das ordens alteradas, que serão indicadas em negrito:
| Soma parcial | 49 | ||||||||||
| Hiperdecimal | 49 | ||||||||||
| Transporte | 54 | 56 | |||||||||
| Radicando | 54 | 06 | 03 | 05 | 01 | 05 | 09 | 02 | 03 | 03 | 06 |
| Raiz | a | ||||||||||
| 7 | |||||||||||
| a | aa
49 |
Se a = 9 → aa = 81 > 54. Se a = 8 → aa = 64 > 54. Se a = 7 a 1ª ordem é perfeitamente contemplada.
| Soma parcial | 42 | 09 | ||||||||
| Hiperdecimal | 42 | |||||||||
| Transporte | 56 | 143 | ||||||||
| Radicando | 06 | 03 | 05 | 01 | 05 | 09 | 02 | 03 | 03 | 06 |
| Raiz | a | b | ||||||||
| 7 | 3 | |||||||||
| b | 2ba
14b 42 |
bb
09 |
A equação hiperdecimal a se satisfazer é 14b = 56. Se a = 9, 8, 7, 6 ou 5, 14b > 56. Se a = 4 → 14b = 56, o que seria satisfatório para a 2ª ordem. Mas a 3ª ordem tem bb = 09 para resultar, e a ausência de transportes para tal ordem torna a opção inviável.
| Soma parcial | 09
135 |
54 | 81 | ||||||
| Hiperdecimal | 135 | ||||||||
| Transporte | 143 | 85 | |||||||
| Radicando | 03 | 05 | 01 | 05 | 09 | 02 | 03 | 03 | 06 |
| Raiz | a | b | c | ||||||
| 7 | 3 | 9 | |||||||
| c | 2ca
14c 126 |
2cb
6c 54 |
cc
81 |
A equação hiperdecimal a se satisfazer é 14c + 9 = 143. A 1ª opção, c = 9 já é viável, pois 14c + 9 = 09.36 + 9 = 126 + 9 = 135 < 143. Transporta-se ((143 - 135 = 8) x 10 = 80) + 5 = 85 para a ordem seguinte. Como 2cb = 2.3.9 = 54 < 85, isso indica que a opção c = 9 é viável.
| Soma parcial | 54
68 |
81
87 |
18 | 01 | ||||
| Hiperdecimal | 68 | |||||||
| Transporte | 85 | 171 | ||||||
| Radicando | 05 | 01 | 05 | 09 | 02 | 03 | 03 | 06 |
| Raiz | a | b | c | d | ||||
| 7 | 3 | 9 | 1 | |||||
| d | 2da
14d 14 |
2db
6d 06 |
2dc
18d 18 |
dd
01 |
A equação hiperdecimal a se satisfazer é 14d + 54 = 85. O 1º palpite seria d = 2, pois 54 + 28 = 82 < 85. Isso tornaria as ordens seguintes 6d = 12, 18d = 36 e dd = 4. A ordem seguinte receberia transporte de ((85 - 82 = 3) x 10 = 30) + 1 = 31, mas tendo de atender 81 + 12 = 93, o que torna o transporte insuficiente e a opção d = 2 inviável.
| Soma parcial | 87
157 |
18
48 |
01
91 |
10 | 25 | ||
| Hiperdecimal | 157 | ||||||
| Transporte | 171 | 145 | |||||
| Radicando | 01 | 05 | 09 | 02 | 03 | 03 | 06 |
| Raiz | a | b | c | d | e | ||
| 7 | 3 | 9 | 1 | 5 | |||
| e | 2ea
14e 70 |
2eb
6e 30 |
2ec
18c 90 |
2ed
2e 10 |
ee
25 |
A equação hiperdecimal a se satisfazer é 14e + 87 = 171 → 14e = 16.11 - 08.07 = 84. O 1º palpite seria e = 6, pois 14e = 06.24 = 84, mas isso deixaria as demais ordens sem transportes, o que torna a opção inviável.
| Soma parcial | 48
132 |
91
127 |
10
118 |
25
37 |
60 | 36 |
| Hiperdecimal | 132 | 127 | 118 | 37 | 60 | 36 |
| Transporte | 145 | 139 | 122 | 43 | 63 | 36 |
| Radicando | 05 | 09 | 02 | 03 | 03 | 06 |
| Raiz | a | b | c | d | e | f |
| 7 | 3 | 9 | 1 | 5 | 6 | |
| f | 2fa
14f 84 |
2fb
6f 36 |
2fc
18f 108 |
2fd
2f 12 |
2fe
10f 60 |
ff
36 |
A equação hiperdecimal a se satisfazer é 14f + 48 = 145 → 14f = 13.15 - 04.08 = 97. O 1º palpite seria f = 6, pois f = 7 resultaria 14 x 7 = 07.28 = 98 > 97, tornando a opção inviável.
Desse modo, facilmente se conclui que a raiz quadrada de 546.351.592.336 é 739.156, e trata-se de uma raiz exata!
As raízes inexatas, ou infinitas, por serem mais extensas, mas não mais complicadas, serão tratadas em capítulo à parte.