O Formalismo Hiperdecimal dos Números/Divisão Hiperdecimal
A busca por um novo algoritmo de resolução de divisões acabou gerando o formalismo hiperdecimal.
O método desenvolvido então fora aquele denominado de Alfabético, mas a Divisão Hiperdecimal se mostrou exequível em outros 3 métodos. Ou seja, a divisão, no formalismo hiperdecimal, pode ser realizada em 4 métodos distintos e igualmente válidos: Linear, Aninhado (Chave), Método Alfabético e Método Maciel.
O método linear é o mais simples e pedagógico de todos. O método da chave, no formalismo hiperdecimal, é ligeiramente mais simples e organizado do que no formalismo decimal. O método alfabético transforma a divisão em sistemas de equações simples. O método Maciel sistematiza o método alfabético, revolucionando o modo de pensar a estrutura interna dos números, tornando a divisão de números extensos numa tarefa menos complexa.
Modo Linear
editarO algoritmo inicia com a tabuada simples do divisor, ou seja, dos seus produtos entre 2 e 9, quando a dificuldade o requerer. O dividendo tem suas ordens transformadas de forma a acomodar os produtos da tabuada.
O dividendo deve ser da mesma ordem de grandeza, ou maior em módulo, quando comparado ao divisor, e isso se faz ajustando as ordens de 10, como previsto no formalismo decimal. Quando há necessidade de se efetuar transportes para além do número original de ordens, como acontece no algoritmo clássico, entra-se na parte decimal do número.
O modo linear é o mais indicado para a verificação da divisibilidade de qualquer dividendo por algum divisor.
- Ex. 1: 2.080 / 65
| Tabuada do 65: | x 2 = 12.10 → 130 | x 3 = 18.15 → 195 | x 4 = 24.20 → 260 | x 5 = 30.25 → 325 |
| x 6 = 36.30 → 390 | x 7 = 42.35 → 455 | x 8 = 48.40 → 520 | x 9 = 54.45 → 585 |
208.00 / 65
208 / 65 → 208 - 195 [3] = 01.09.18 - 01.09.05 = 00.00.13 → 13 x 10 + 0 = 130
130 / 65 → 130 - 130 [2] = 0
Portanto: 2.080 / 65 = 32
- Ex. 2: 51.251 / 53
| Tabuada do 53: | x 2 = 10.06 → 106 | x 3 = 15.09 → 159 | x 4 = 20.12 → 212 | x 5 = 25.15 → 265 |
| x 6 = 30.18 → 318 | x 7 = 35.21 → 371 | x 8 = 40.24 → 424 | x 9 = 45.27 → 477 |
512.05.01 / 53
512 / 53 → 512 - 477 [9] = 04.10.12 - 04.07.07 = 00.03.05 → 35 x 10 + 5 = 355
355 / 53 → 350 - 318 [6] = 03.04.15 - 03.01.08 = 00.03.07 → 37 x 10 + 1 = 371
371 / 53 → 371 [7]
Portanto: 51.251 / 53 = 967
- Ex. 3: 26,54 / 9,803 = (26.540.10-3) / (9.803.10-3) = 26.540 / 9.803
| Tabuada do 9803: | x 2 = 18.16.00.06 = 19.606 | x 3 = 27.24.00.09 = 29.409 | x 4 = 36.32.00.12 = 39.212 | x 5 = 45.40.00.15 = 49.015 |
| x 6 = 54.48.00.18 = 58.818 | x 7 = 63.56.00.21 = 68.621 | x 8 = 72.64.00.24 = 78.424 | x 9 = 81.64.00.27 = 87.427 |
26540;00 / 9803
26540 / 9803 → 26540 - 19606 [2] → 01.15.14.13.10 - 01.09.06.00.06 = 00.06.08.13.04 = 6934 → (x 10) = 69340
69340 / 9803 → 69340 - 68621 [7] → 06.08.12.13.10 - 06.08.06.02.01 = 00.00.06.11.09 = 719 → (x 10) = 7190
7190 / 9803 → [0] → (x 10) = 71900
71900 / 9803 → 71900 - 68621 [7] → 06.10.18.09.10 - 06.08.06.02.01 = 00.02.12.07.09 = 3279 → (x 10) = 32790
32790 / 9803 → 32790 - 29409 [3] → 02.11.16.18.10 - 02.09.04.00.09 = 00.02.12.18.01 = 3381 → (x 10) = 33810
Portanto: 26,54 / 9,803 = 2,7073 com 33.810.10-5.10-3 = 0,00033810 de resto
Prova: 9.803.10-3 x 27.073.10-4 = (9.803 x 27.073).10-7
| 18 | 63 | 00 | 63 | 27 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| + | 16 | 56 | 00 | 56 | 24 | |||
| ++ | 06 | 21 | 00 | 21 | 09 | |||
| Produto Hiperdecimal | 18 | 79 | 56 | 69 | (09.14)
104 |
24 | 21 | 09 |
| Ultradecimal | 26 | 85 | 63 | 79 | 106 | 26 | 21 | 09 |
Logo: (9.803 x 27.073).10-7 = 265.396.619.10-7 = 26,539 661 9
Diferença: 02.06;05.03.09.09.09.09.10 - 02.06;05.03.09.06.06.01.09 = 00.00;00.00.00.03.03.08.01 → 0,0003381
- Ex. 4: 68.903 / 7
68.09.00.03 / 7 = 63[9].59.00.03 / 7 = 63.56[8].30.03 / 7 = 63.56.28[4].23 / 7 = 63.56.28.21[3];20 / 7 = 63.56.28.21;14[2].(60/7)
Portanto, 68.903 não é perfeitamente divisível por 7. O quociente é 9843,2 e o resto é 60.10-2 = 0,6
Modo Aninhado ou Método da Chave
editarO algoritmo da chave, no formalismo hiperdecimal, é bastante parecido com o do formalismo decimal, com duas diferenças básicas:
1) Uma etapa extra chamada de Adaptação, onde as ordens hiperdecimais do dividendo são ajustadas, através do Majorante, para serem subtraídas do produto parcial do dígito do quociente pelo divisor;
2) A Prova Real é imediata, pois consiste na soma simples dos produtos parciais.
Outra vantagem do método da chave hiperdecimal consiste na organização e simplicidade da operação.
- Ex. 5: 558.532 / 934 = 05.05.08.05.03.02 / 934
| Passo | 05 | 05 | 08 | 05 | 03 | 02 | 9 | 3 | 4 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Transporte | 55 | 08 | 05 | |||||||
| 3 | Adaptação | 54 | 16 | 25 | |||||||
| 2 | Produto | 45 | 15 | 20 | 5 | ||||||
| 4 | Resto 1 | 09 | 01 | 05 | 03 | 02 | |||||
| 5 | Transporte | 91 | 05 | 03 | |||||||
| 7 | Adaptação | 88 | 31 | 43 | |||||||
| 6 | Produto | 81 | 27 | 36 | 9 | ||||||
| 8 | Resto 2 | 07 | 04 | 07 | 02 | ||||||
| 9 | Transporte | 74 | 07 | 02 | |||||||
| 11 | Adaptação | 72 | 24 | 32 | |||||||
| 10 | Produto | 72 | 24 | 32 | 8 | ||||||
| 12 | Resto 3 | 00 | 00 | 00 |
Portanto, o quociente é 598.
A prova real se faz através da soma dos produtos:
45.15.20 + 00.81.27.36 + 00.00.72.24.32 = 45.(15+81).(20+27+72).(36+24).32 = 45.96.119.60.32 → 55|108|125|63|32 → 558.532
- Ex. 6: 86.427 / 53.458 = 08.06.04.02.07 / 53458
Calculando para 3 casas decimais de precisão:
| Passo | 08 | 06 | 04 | 02 | 07 | 5 | 3 | 4 | 5 | 8 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Transporte | 08 | 06 | 04 | 02 | 07 | ||||||||
| 3 | Adaptação | 07 | 15 | 13 | 11 | 17 | ||||||||
| 2 | Produto | 05 | 03 | 04 | 05 | 08 | 1, | |||||||
| 4 | Resto 1 | 02 | 12 | 09 | 06 | 09 | ||||||||
| 5 | Transporte | 32 | 09 | 06 | 09; | 00 | ||||||||
| 7 | Adaptação | 30 | 26 | 33 | 34 | 50 | ||||||||
| 6 | Produto | 30 | 18 | 24 | 30 | 48 | 6 | |||||||
| 8 | Resto 2 | 00 | 08 | 09 | 04 | 02 | ||||||||
| 9 | Transporte | 08 | 09 | 04 | 02 | 00 | ||||||||
| 11 | Adaptação | 07 | 18 | 13 | 11 | 10 | ||||||||
| 10 | Produto | 05 | 03 | 04 | 05 | 08 | 1 | |||||||
| 12 | Resto 3 | 02 | 15 | 09 | 06 | 02 | ||||||||
| 13 | Transporte | 35 | 09 | 06 | 02 | 00 | ||||||||
| 15 | Adaptação | 33 | 26 | 32 | 37 | 50 | ||||||||
| 14 | Produto | 30 | 18 | 24 | 30 | 48 | 6 | |||||||
| 16 | Resto 4 | 03 | 08 | 08 | 07 | 02 |
O quociente decimal é 1,616 com resto 38.872.10-3 = 38,872
Demonstração:
05.03.04.05.08 + 00.30.18.24.30;48 + 00.00.05.03.04;05.08 + 00.00.00.30.18;24.30.48 =
05.(03+30).(04+18+05).(05+24+03+30).(08+30+04+18) ; (48+05+24).(08+30).48 = 05.33.27.62.60 ; 77.38.48 → 08|36|33|68|68|;|81|42|48 → 86388,128
Resto: 86427 - 86388,128 → 08.06.03.11.16;09.09.10 - 08.06.03.08.08;01.02.08 = 00.00.00.03.08;08.07.02 → 38,872
A partir desses dados o algoritmo permite a continuação da operação. Para mais 4 dígitos:
| Passo | 03 | 08; | 08 | 07 | 02 | 5 | 3 | 4 | 5 | 8 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Transporte | 38 | 08 | 07 | 02 | 00 | ||||||||
| 3 | Adaptação | 36 | 25 | 33 | 36 | 60 | ||||||||
| 2 | Produto | 35 | 21 | 28 | 35 | 56 | 7 | |||||||
| 4 | Resto 5 | 01 | 04 | 05 | 01 | 04 | ||||||||
| 5 | Transporte | 14 | 05 | 01 | 04 | 00 | ||||||||
| 7 | Adaptação | 13 | 14 | 10 | 12 | 20 | ||||||||
| 6 | Produto | 10 | 06 | 08 | 10 | 16 | 2 | |||||||
| 8 | Resto 6 | 03 | 08 | 02 | 02 | 04 | ||||||||
| 9 | Transporte | 38 | 02 | 02 | 04 | 00 | ||||||||
| 11 | Adaptação | 35 | 29 | 28 | 38 | 60 | ||||||||
| 10 | Produto | 35 | 21 | 28 | 35 | 56 | 7 | |||||||
| 12 | Resto 7 | 00 | 08 | 00 | 03 | 04 | ||||||||
| 13 | Transporte | 08 | 00 | 03 | 04 | 00 | ||||||||
| 15 | Adaptação | 07 | 09 | 12 | 13 | 10 | ||||||||
| 14 | Produto | 05 | 03 | 04 | 05 | 08 | 1 | |||||||
| 16 | Resto 8 | 02 | 06 | 08 | 08 | 02 |
O Quociente é 1,6167271 com resto 26882.10-7 = 0,0026882
Demonstração:
Soma dos produtos parciais: 35;(21+10).(28+06+35).(35+08+21+05).(56+10+28+03).(16+35+04).(56+05).08 =
35;31.69.69.97.55.61.08 → 38|;|38|76|79|103|61|61|08 → 38,869 311 8
Soma total: 86.388,128 + 38,869 311 8 = 08.06.03.(08+03).(08+08) ; (01+08).(02+06).(08+09).03.01.01.08 =
08.06.03.11.16;09.08.17.03.01.01.08 → 08|06|04|12|16|;|09|09|17|03|01|01|08 → 86.426,997 311 8
Diferença: 86.427 - 86.426,997 311 8 = 06;09.09.09.09.09.09.10 - 06;09.09.07.03.01.01.08 = 00;00.00.02.06.08.08.02 → 0,0026882
O Método Alfabético e o Método Maciel
editarUm bom matemático percebe facilmente que o modo aninhado das operações algébricas sempre representa alguma forma de sistematização do modo linear.
Para a divisão o modo linear é bastante simples ao tratar de valores não muito extensos, pois representa o modo como a inteligência humana pensa intuitivamente o processo divisório. Apesar de também funcionar para valores extensos, o método linear perde em eficiência quando comparado ao método da chave, pois este é elegante, bem organizado, e torna-se cada vez mais compacto conforme o aumento da extensão dos valores envolvidos.
O Método Alfabético transforma completamente a perspectiva do processo divisório, pois transforma qualquer divisão em um sistema simples de equações que regem os transportes entre as ordens do dividendo. O método alfabético é tão mais útil quanto mais extensos foram os valores envolvidos nas divisões.
O Método Maciel é o modo aninhado do método alfabético. Tal algoritmo transforma qualquer divisão em uma operação trivial e facilmente extensível, onde se tem fácil acesso aos quocientes, aos restos e às provas reais.
Por serem as maiores novidades do presente trabalho, cada método merecerá um capítulo exclusivo.