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O Formalismo Hiperdecimal dos Números/Multiplicação Hiperdecimal

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A Soma e a Subtração no formalismo hiperdecimal seguem a mesma estrutura lógica do formalismo decimal; no entanto, a Multiplicação Hiperdecimal é bastante diferente do algoritmo clássico, embora guarde as mesmas propriedades.

A multiplicação hiperdecimal possui 3 regras simples:

1) Cada dígito do multiplicador gera um hiperdecimal ao multiplicar todos os dígitos do multiplicando.

2) Cada hiperdecimal gerado é alinhado à esquerda a partir da respectiva ordem do seu dígito gerador.

3) O Produto Hiperdecimal consiste na soma simples dos hiperdecimais gerados.

Por causa da propriedade comutativa da multiplicação, a escolha de um dos valores para multiplicador ou para multiplicando não afeta o produto final. No entanto, é muito mais simples, do ponto de vista operacional, escolher o valor com menos dígitos para ser o multiplicador.

No caso de multiplicação de números com dízimas vale a propriedade da representação dos mesmos na base 10, o que é equivalente ao macete da contagem da quantidade total de dígitos decimais para a correta disposição da vírgula no produto final em alguns casos.

Modo Linear

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Para facilitar o correto alinhamento à esquerda dos hiperdecimais multiplicados, recomenda-se utilizar 00 nas ordens à esquerda que não deveriam estar preenchidas. Todo 00 pode ser desprezado nas somas dos valores das ordens.

  • Ex. 1: 956 x 86 = 72.54 + 00.40.30 + 00.00.48.36 = 72.(54+40).(30+48).36 = 72.94.78.36

Ultradecimal: 82|102|81|36 → 82.216

Igualmente: 86 x 956 = 72.40.48 + 00.54.30.36 = 72.(40+54).(48+30).36 = 72.94.78.36 → 82.102.81.36 → 82.216

  • Ex. 2: 45.642 x 36.578

12.24.20.28.32 + 00.15.30.25.35.40 + 00.00.18.36.30.42.48 + 00.00.00.12.24.20.28.32 + 00.00.00.00.06.12.10.14.16 =

12.(24+15).(20+30+18).(28+25+36+12).(32+35+30+24+06).(40+42+20+12).(48+28+10).(32+14).16 =

12.39.68.(08.21).(11.17).114.(07.16).46.16 = 12.39.68.101.127.114.86.46.16

Ultradecimal: 16|46|79|114|139|123|90|47|16 → 1.669.493.076

  • Ex. 3: - 89.087 x 697 = - (697 x 89.087)

48.54.00.48.42 + 00.72.81.00.72.63 + 00.00.56.63.00.56.49 =

48.(54+72).(81+56).(48+63).(42+72).(63+56).49 = 48.126.137.111.114.119.49

Ultradecimal: 62|140|149|123|126|123|49 → 62.093.639

Portanto o produto decimal é - 62.093.639

  • Ex. 4: 9,754 x - 95,6034 = - (9754.10-3 x 956034.10-4) = - (9754 x 956034).10-7

81.45.54.00.27.36 + 00.63.35.42.00.21.28 + 00.00.45.25.30.00.15.20 + 00.00.00.36.20.24.00.12.16 =

81.(45+63).(54+35+45).(42+25+36).(27+30+20).(36+21+24).(28+15).(20+12).16 =

81.108.(12.14).(09.13).77.(07.11).(03.13).32.16 = 81.108.134.103.77.81.43.32.16

Ultradecimal: 93|122|145|111|85|85|46|33|16 → 9.325.155.636

O produto decimal é - 9.325.155.636.10-7 = - 932,515 563 6

Modo Aninhado

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Segue a mesma lógica do modo linear, mas dispensando os zeros à esquerda, por causa da possibilidade de correta disposição espacial.

  • Ex. 5: 0,06541 x 9,0258 = 6.541.10-5 x 90.258.10-4 = (6.541 x 90.258).10-9
54 00 12 30 48
+ 45 00 10 25 40
+ 36 00 08 20 32
+ 09 00 02 05 08
Produto Hiperdecimal 54 45 48 49 (06.21)

81

62 37 08
Ultradecimal 59 50 53 57 87 65 37 08

O produto decimal é 590.377.578.10-9 = 0,590 377 578

Multiplicações Diversas

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As multiplicações diversas requerem que os resultados das parciais sejam tomados na forma simples ou na representação decimal. As propriedades comutativa e associativa implicam que a sequência escolhida para as multiplicações não afeta o produto final.

  • Ex. 6: 86,523 x 0,0365 x 9764,01 = 86.523.10-3 x 365.10-4 x 976.401.10-2 = (86.523 x 365 x 976.401).10-9

365 x 976.401 =

27 21 18 12 00 03
+ 54 42 36 24 00 06
+ 45 35 30 20 00 05
Produto Hiperdecimal 27 75 (09.15)

105

(07.13)

83

54 23 06 05
Ultradecimal 35 86 113 88 56 23 06 05

86.523 x 356.386.365 =

24 40 48 24 64 48 24 48 40
+ 18 30 36 18 48 36 18 36 30
+ 15 25 30 15 40 30 15 30 25
+ 06 10 12 06 16 12 06 12 10
+ 09 15 18 09 24 18 09 18 15
Produto Hiperdecimal 24 58 (08.13)

93

(07.21)

91

(11.21)

131

(11.28)

138

(10.24)

124

(09.31)

121

(11.17)

127

(07.14)

84

(03.16)

46

28 15
Ultradecimal 30 68 103 105 146 151 137 134 135 88 48 29 15

O produto decimal é 30.835.617.458.895.10-9 = 30.835,617 458 895

Multiplicação de Hiperdecimais

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A forma mais fácil consiste na redução dos hiperdecimais a suas formas simples. No entanto, um hiperdecimal na forma simples pode incidir sobre um hiperdecimal normal.

  • Ex. 7: 61.34.85;77.52.12 x 54.32;28.79

Forma simples: 54.32;28.79 → 57|35|;|35|79 → 575,59

57.559 x 10-2 x 61.34.85.77.52.12 x 10-3 =

(30.05)

305

(15.20)

170

(40.25)

425

(35.35)

385

(25.10)

260

(05.10)

60

+ (42.07)

427

(21.28)

238

(56.35)

595

(49.49)

539

(35.14)

364

(07.14)

84

+ 305 170 425 385 260 60
+ 305 170 425 385 260 60
+ (54.09)

549

(27.36)

306

(72.45)

765

(63.63)

693

(45.18)

468

(09.18)

108

Produto Hiperdecimal 305 597 (09.05.18)

968

(12.24.15)

1455

(17.22.23)

1943

(13.22.20)

1540

(12.28.14)

1494

(08.21.03)

1013

528 108
Ultradecimal 376 (06.10.10)

710

(10.12.14)

1134

(16.06.06)

1666

(20.11.03)

2113

1700 1600 1066 538 108

O produto decimal é 376.046.300.688.10-5 = 3.760.463,006 88

De outro modo:

Ultradecimal: 61.34.85.77.52.12 = 65|43|93|82|53|12 → 6.533.232

57.559 x 10-2 x 6.533.232 x 10-3 = (57.559 x 6.533.232).10-5 =

30 25 15 15 10 15 10
+ 42 35 21 21 14 21 14
+ 30 25 15 15 10 15 10
+ 30 25 15 15 10 15 10
+ 54 45 27 27 18 27 18
Produto Hiperdecimal 30 67 (07.10)

80

(08.11)

91

(11.15)

125

(08.24)

104

(07.13)

83

(05.16)

66

(03.13)

43

37 18
Ultradecimal 37 76 90 104 136 113 90 70 46 38 18

O produto decimal é 376.046.300.688.10-5, como esperado.

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