O Formalismo Hiperdecimal dos Números/O Método Maciel na Divisibilidade

Em relação às operações algébricas de divisão, a pedagogia do formalismo decimal preconizava algumas intuições antes de introduzir o grandioso método da chave. Mas, a despeito da elegância e da praticidade deste, jamais tal pedagogia foi muito eficiente.

O Método Linear de Divisão, tal como já apresentado, é a concretização dessas intuições e, talvez por isso, possa alcançar uma eficiência pedagógica maior no ensino dos processos de divisão.

O Método Alfabético é muito poderoso na resolução de divisões e na execução dos testes de divisibilidade, mas não é muito prático. Por isso mesmo, assim como o método da chave é uma possível sistematização do método linear, conviria haver um modo de se sistematizar a execução do método alfabético. Logo, o Método Maciel é a poderosa sistematização do método alfabético.

Embora tenha surgido para simplificar os processos extensos de divisão, sua principal funcionalidade é o cálculo exato da radiciação com índices inteiros. No entanto, dado o seu feitio, tal método só é manualmente viável para o cálculo de raízes quadradas e cúbicas, pois para índices maiores do que 4 o algoritmo torna-se demasiadamente extenso e lento, tornando mais eficientes os métodos de aproximação do cálculo numérico.

Fundamentos do Método Maciel

O método Maciel é uma sistematização do método alfabético que dispõe as equações de modo organizado, simplificando extremamente o critério da adequação do valor de cada incógnita para, ao menos, o atendimento dos transportes para as duas ordens seguintes.

O método consiste em uma tabela simples com 4 partes:

1) zona das somas parciais, para registrar as contribuições aos valores de cada ordem;

2) zona dos hiperdecimais, para registrar o dividendo, os transportes e a distribuição hiperdecimal da prova real da operação;

3) zona das incógnitas, onde cada incógnita do número alfabético tem seu valor registrado.

4) zona das equações, onde o produto entre o divisor e o número alfabético que representa o quociente é disposto e calculado.

• Ex. 1: 555.681 / 987 → 55.05.06.08.01 / 987

Um dividendo com 5 ordens hiperdecimais em relação a um divisor com 3 ordens implica em um quociente com, ao menos, 3 ordens na sua parte inteira.

O sistema de equações a se resolver é: 987 x abc = 9a.(8a+9b).(7a+8b+9c).(7b+8c).7c

Somas parciais	45	40 94	35 83 110	42 66
Hiperdecimal	45	94	110	66	21
Transporte	55	105	116	68	21
Dividendo	55	05	06	08	01
Incógnitas	a	b	c
Quociente	5	6	3
1º divisor: 9	9a 45	9b 54	9c 27
2º divisor: 8		8a 40	8b 48	8c 24
3º divisor: 7			7a 35	7b 42	7c 21

A prova real se realiza a partir do ultradecimal do hiperdecimal resultante para o dividendo, o que deve coincidir com a linha do Transporte.

45.94.110.66.21 → 55|105|116|68|21 → 555.681

O resto é zero, pois 21 - 21 = 0, o que sinaliza o final da divisão.

O método de resolução é o mesmo do método alfabético. Para a 1ª ordem a equação hiperdecimal a se atender é 9a = 55. O primeiro palpite razoável seria a = 6, resultando 9a = 54. Em decorrência disso, a 2ª ordem teria de resultar, no máximo, ((55 - 54 = 1) x 10) + 05 = 15; mas 8a resultaria 48, excedendo o limite e inviabilizando a possibilidade. Com a = 5 a 1ª ordem resultaria 45, a 2ª ordem resultaria 40, tendo até 105 para alcançar; e a 3ª ordem resultaria 35, tendo até (105 - 40 = 65) x 10) + 06 = 656 para alcançar, o que é perfeitamente viável.

Com a = 5 a 2ª equação se torna 9b = (105 - 40 = 65). O primeiro palpite seria b = 7, resultando 63. A 3ª ordem resultaria ((65 - 63 = 2) x 10) + 06 = 26, mas 7a já resultaria 35, excedendo o limite e inviabilizando a possibilidade. Com b = 6 a 2ª equação se tornaria 54, o que resultaria ((65 - 54 = 11) x 10) + 06 = 116 na 3ª ordem. Com a = 5 e b = 6 a soma parcial da 3ª ordem resultaria 35 + 48 = (07.13) = 83. Isso estabeleceria a equação hiperdecimal 9c = (116 - 83 = 33) para a 3ª ordem.

O primeiro palpite razoável seria c = 3, resultando 27. A 4ª ordem resultaria 8c + 7b = 24 + 42 = 66, tendo ((33 - 27 = 6) x 10) + 8 = 68 para resultar, o que é viável.

A última ordem resultaria 7c = 21, com ((68 - 66) x 10) + 01 = 21 para resultar, o que indica a precisão da divisão e a ausência de restos.

• Ex. 2: 448.466.746 / 9.737 → 44.08.04.06.06.07.04.06 / 9737

O dividendo tem 8 ordens hiperdecimais. O divisor tem 4 ordens. Isso implica que o divisor possui 5 ordens na sua parte inteira.

O algoritmo Maciel deve tratar o sistema de equações hiperdecimais abcde x 9737:

Somas parciais	36	28 82	12 54	28 46 91	42 77 149	15 71	35 59	56
Hiperdecimal	36	82	54	91	149	71	59	56
Transporte	44	88	64	106	156	77	64	56
Dividendo	44	08	04	06	06	07	04	06
Incógnitas	a	b	c	d	e
Quociente	4	6	0	5	8
1º divisor: 9	9a 36	9b 54	9c 00	9d 45	9d 72
2º divisor: 7		7a 28	7b 42	7c 00	7d 35	7e 56
3º divisor: 3			3a 12	3b 18	3c 00	3d 15	3e 24
4º divisor: 7				7a 28	7b 42	7c 00	7d 35	7e 56

A linha do Transporte já indica que a prova real é 44|88|64|106|156|77|64|56 → 448.466.746

O resto é zero, pois 56 - 56 = 0, o que sinaliza que a divisão terminou.

• Ex. 3: 185,61796 / 6,908 = 18.561.796.10^-5 / 6.908.10^-3 = (18.561.796 / 6908).10^-2

18.561.796 / 6.908 → 18.05.06.01.07.09.06 / 6908

O dividendo tem 7 ordens hiperdecimais. O divisor tem 4. O quociente deve ter 4 ordens em sua parte inteira.

O algoritmo Maciel deve resolver a equação hiperdecimal abcd x 6908:

Somas parciais	12	18 54	54 102	16 88 130	48 111	64	56
Hiperdecimal	12	54	102	130	111	64	56
Transporte	18	65	116	141	117	69	56
Dividendo	18	05	06	01	07	09	06
Incógnitas	a	b	c	d
Quociente	2	6	8	7
1º divisor: 6	6a 12	6b 36	6c 48	6d 42
2º divisor: 9		9a 18	9b 54	9c 72	9d 63
3º divisor: 0			00	00	00	00
4º divisor: 8				8a 16	8b 48	8c 64	8d 56

A linha do Transporte já indica que a prova real é 18|65|116|141|117|69|56 → 18.561.796, com resto 0.

O quociente é (18.561.796 / 6908).10^-2 = 2687.10^-2 = 26,87

A Capacidade de Expansão do Método Maciel

O Método Maciel não é tão simples quanto o método da chave, racionalmente falando; mas ele implica menos operações algorítmicas, menos ocupação de espaço físico, e já traz explicitamente o valor da prova real, nas divisões finitas, e traz o valor da prova real de forma implícita no hiperdecimal das divisões infinitas, coisa que o método da chave não era capaz de realizar. Entretanto, ambos os métodos explicitam as informações mais importantes, o quociente e o resto, de modo bastante claro.

Não obstante tais vantagens, o Método Maciel possui outra grande virtude em relação ao método da chave: a possibilidade de fácil expansão da operação até a obtenção da precisão desejada. Isso é particularmente útil para divisões extensas em que o quociente não é finito nem constitui uma dízima periódica.

Ex. 4: 58.197 / 7.688 → 58.01.09.07 / 7688

Tal divisão tem apenas 1 ordem na parte inteira. Calculando os 10 primeiros dígitos do quociente se tem a equação hiperdecimal 7688 x a,bcdefghij

Somas parciais	49	42 77	56 86 128	56 96 132 195	40 88 142 198	48 120 168 196	72 136 160 223	64 96 150 157	32 104 110 117	72 80 86 121	08 16 46	08 48	40
Hiperdecimal	49	77	128	195;	198	196	223	157	117	121	46	48	40
Transporte	58	91	149	217;	220	220	240	170	130	130	90
Dividendo	58	01	09	07;
Incógnitas	a,	b	c	d	e	f	g	h	i	j
Quociente	7,	5	6	9	8	4	9	1	1	5
1º divisor: 7	7a 49	7b 35	7c 42	7d 63	7e 56	7f 28	7g 63	7h 07	7i 07	7j 35
2º divisor: 6		6a 42	6b 30	6c 36	6d 54	6e 48	6f 24	6g 54	6h 06	6i 06	6j 30
3º divisor: 8			8a 56	8b 40	8c 48	8d 72	8e 64	8f 32	8g 72	8h 08	8i 08	8j 40
4º divisor: 8				8a 56	8b 40	8c 48	8d 72	8e 64	8f 32	8g 72	8h 08	8i 08	8j 40

Diferentemente do que acontece nas divisões finitas, há um desencontro entre o Transporte e a prova real da operação, fazendo-se necessário obter o ultradecimal do hiperdecimal parcial.

49.77.128.195.198.196.223.157.117.121.46.48.40 → 58|91|149|216|219|219|239|169|129|126|51|52|40 → 58.196,999 996 120 = 58.196,9₅6120

A diferença é de (09.09.09.10 - 06.01.02.00).10^-9 = (03.08.07.10).10^-9 → 3880.10^-9 = 0,000003880

A continuação da divisão é simples, pois consiste na continuação dentro da estrutura lógica, ou na construção de uma nova tabela, mantendo apenas os valores destacados em negrito. Calculando os próximos 10 dígitos do quociente:

Somas parciais	46 81	48 78	40 80 108	40 64 106	32 68 124	32 80 128 142	48 112 124 166	64 80 116 130	16 64 76 90	48 64 76 90	16 32 44	16 32	16
Hiperdecimal	81	78	108	106	124	142	166	130	90	90	44	32	16
Transporte	90	90	120	120	140	160	180	140	100	100	100
Dividendo
Incógnitas	k	l	m	n	o	p	q	r	s	t
Quociente	5	0	4	6	8	2	6	2	2	2
1º divisor: 7	7k 35	7l 00	7m 28	7n 42	7o 56	7p 14	7q 42	7r 14	7s 14	7t 14
2º divisor: 6		6k 30	6l 00	6m 24	6n 36	6o 48	6p 12	6q 36	6r 12	6s 12	6t 12
3º divisor: 8			8k 40	8l 00	8m 32	8n 48	8o 64	8p 16	8q 48	8r 16	8s 16	8t 16
4º divisor: 8				8k 40	8l 00	8m 32	8n 48	8o 64	8p 16	8q 48	8r 16	8s 16	8t 16

O quociente com 20 dígitos de precisão é 7,5698491155046826222

Para a prova real basta conjugar os hiperdecimais e realizar o ultradecimal:

49.77.128.195;198.196.223.157.117.121.81.78.108.106.124.142.166.130.90.90.44.32.16 →

58|91|149|216| ; |219|219|239|169|129|129|89|89|119|119|139|159|179|139|99|94|47|33|16 →

58.196,999 999 999 999 999 473 6 = 58.196,9₁₅4736

A diferença é de (09.09.09.10 - 04.07.03.06).10^-19 = (05.02.06.04).10^-19 = 5264.10^-19 = 0,000 000 000 000 000 526 4