O Formalismo Hiperdecimal dos Números/O Método Maciel na Radiciação Infinita

O Método Maciel promove uma simplificação muito grande no cálculo das raízes quadradas exatas. No entanto, diferentemente do que se poderia pensar acerca do cálculo das raízes infinitas, o nível de dificuldade não é significativamente alterado. A diferença mais importante refere à prova real que, assim como acontecia no uso do Método Maciel diante de divisões infinitas, requer que se proceda ao Ultradecimal do Hiperdecimal resultante ao invés da simples consulta à linha do Transporte.

No cálculo das raízes infinitas através do Método Maciel é indiferente utilizar o modo aninhado ou o modo de recorrência. Mesmo a intercalação de ambos não afeta em nada a dificuldade ou a exatidão dos resultados.

• Ex. 1: ${\sqrt {2}}$

Calculando os 7 primeiros dígitos da raiz:

Soma parcial	01	08	16 18	08 16	01 33 37	08 24 26	16 20 28 34	16 18 42	04 12 18	04 28	01 13	06	09
Hiperdecimal	01;	08	18	16	37	26	34
Transporte	02	10	20	20	40	30	40	60
Radicando	02
Raiz	a,	b	c	d	e	f	g
	1,	4	1	4	2	1	3
a	aa 01		bb 16		cc 01		dd 16		ee 04		ff 01		gg 09
b		2ab 2b 08		2bc 8c 08		2cd 2d 08		2de 8e 16		2ef 4f 04		2fg 2g 06
c			2ac 2c 02		2bd 8d 32		2ce 2e 04		2df 8f 08		2eg 4g 12
d				2ad 2d 08		2be 8e 16		2cf 2f 02		2dg 8g 24
e					2ae 2e 04		2bf 8f 08		2cg 2g 06
f						2af 2f 02		2bg 8g 24
g							2ag 2g 06

A raiz é 1,414213. A prova real é:

01;08.18.16.37.26.34.42.18.28.13.06.09 → 01| ; |09|19|19|39|29|38|44|20|29|13|06|09 → 1,999 998 409 369 = 1,9₅8 409 369

Um modo simples de calcular a diferença entre o valor alcançado para o radicando e o radical ideal consiste em fazer a subtração entre o último transporte significativo e as somas parciais das ordens que sofrerão influência posterior, os valores indicados em negrito e que serão utilizados nos métodos de continuação.

60 = 59.09.09.09.09.10

42.18.28.13.06.09 → 44|20|29|13|06|09 → 44.00.09.03.06.09

Então: 59.09.09.09.09.10 - 44.00.09.03.06.09 = 15.09.00.06.03.01 → 1590631

Portanto a diferença é de 1590631.10^-12 = 0,000 001 590 631

Utilizando a recorrência para calcular mais 3 dígitos:

Soma parcial	42 52	18 58	28 38	13 53	06 26	09 19	30	25
Hiperdecimal	52
Transporte	60	80
Radicando
Raiz	a,	b	c	d	e	f	g	h
	1,	4	1	4	2	1	3	5
h	2ha 2h 10	2hb 8h 40	2hc 2h 10	2hd 8h 40	2he 4h 20	2hf 2h 10	2hg 6h 30	hh 25

Se h = 9 → 2h = 18; 18 + 42 = 60; o transporte nulo torna a opção inviável.

Se h = 8 → 2h = 16; 16 + 42 = 58; transporta-se 20 para a ordem seguinte, mas 8h = 64 torna a opção inviável.

Se h = 7 → 2h = 14; 14 + 42 = 56; transporta-se 40 para a ordem seguinte, mas 8h = 56 torna a opção inviável.

Se h = 6 → 2h = 12; 12 + 42 = 54; transporta-se 60 para a ordem seguinte, mas 8h = 48 e a parcial 18, totalizando 48 + 18 = 66 tornam a opção inviável.

Se h = 5 → 2h = 10; 10 + 42 = 52; transporta-se 80 para a ordem seguinte; (8h = 40) + 18 = 58 torna a opção viável por causa da abundância dos transportes possíveis.

Soma parcial	58 70	38 86	53 65	26 74	19 43	30 42	25 61	60	36
Hiperdecimal	70
Transporte	80	100
Radicando
Raiz	a,	b	c	d	e	f	g	h	i
	1,	4	1	4	2	1	3	5	6
i	2ia 2i 12	2ib 8i 48	2ic 2i 12	2id 8i 48	2ie 4i 24	2if 2i 12	2ig 6i 36	2ih 10h 60	ii 36

Se i = 9 → 2i = 18; 18 + 58 = 76; transporta-se 40, mas (8i = 72) + 38 > 40 → inviável.

Se i = 8 → 2i = 16; 16 + 58 = 74; transporta-se 60, mas (8i = 64) + 38 > 60 → inviável.

Se i = 7 → 2i = 14; 14 + 58 = 72; transporta-se 80, mas (8i = 56) + 38 > 80 → inviável.

Se i = 6 → 2i = 12; 12 + 58 = 70; transporta-se 100; (8i = 48) + 38 = 76 < 100 → viável por causa da abundância dos transportes possíveis.

Soma parcial	86 90	65 81	74 78	43 59	42 50	61 65	60 72	36 56	24	04
Hiperdecimal	90
Transporte	100	100
Radicando
Raiz	a,	b	c	d	e	f	g	h	i	j
	1,	4	1	4	2	1	3	5	6	2
j	2ja 2j 04	2jb 8j 16	2jc 2j 04	2jd 8j 16	2je 4j 08	2jf 2j 04	2jg 6j 12	2jh 10j 20	2ji 12j 24	jj 04

Se j = 9 → 2j = 18; 18 + 86 = 104 → inviável.

Se j = 8 → 2j = 16; 16 + 86 = 102 → inviável.

Se j = 7 → 2j = 14; 14 + 86 = 100 → inviável pela ausência de transportes.

Se j = 6 → 2j = 12; 12 + 86 = 98; transporta-se 20, mas (8j = 48) + 65 > 20 → inviável.

Se j = 5 → 2j = 10; 10 + 86 = 96; transporta-se 40, mas (8j = 40) + 65 > 40 → inviável.

Se j = 4 → 2j = 08; 08 + 86 = 94; transporta-se 60, mas (8j = 32) + 65 > 60 → inviável.

Se j = 3 → 2j = 06; 06 + 86 = 92; transporta-se 80; mas (8j = 24) + 65 > 80 → inviável.

Se j = 2 → 2j = 04; 04 + 86 = 90; transporta-se 100; (8j = 16) + 65 = 81 < 100 → viável por causa da abundância dos transportes possíveis.

O modo simples de se verificar a diferença entre o valor ideal e o valor alcançado para o radicando:

100 = 99.09.09.09.09.09.09.09.10

81.78.59.50.65.72.56.24.04 → 89|84|64|57|72|77|58|24|04 → 89.04.04.07.02.07.08.04.04

99.09.09.09.09.09.09.09.10 - 89.04.04.07.02.07.08.04.04 = 10.05.05.02.07.02.01.05.06 = 1055272156

Como cada incógnita aumenta 2 ordens na precisão, a diferença é de 1055272156.10^{-((12 + (2 x 3 = 6) = 18)} = 0,000 000 001 055 272 156

O modo correto de se averiguar a prova real é tomando o valor de todas as ordens hiperdecimais:

01;08.18.16.37.26.34.52.70.90.81.78.59.50.65.72.56.24.04 →

01;09|19|19|39|29|39|59|79|98|89|84|64|57|72|77|58|24|04 →

1,999 999 998 944 727 844 = 1,9₈8 944 727 844

Diferença: 09.09.09.09.09.09.09.09.09.10 - 08.09.04.04.07.02.07.08.04.04 = 01.00.05.05.02.07.02.01.05.06 →

1055272156.10^-18 = 0,000 000 001 055 272 156

• Ex. 2: ${\sqrt {108,4876}}$

O radicando é igual a 1.084.876.10^-4. Isso implica em uma raiz inteira do tipo abcd,e... x 10^-2.

A forma hiperdecimal do radicando é 01.00.08.04.08.07.06. Calculando os 7 primeiros dígitos da raiz:

Soma parcial	01	00	08	02	16 26	08 22	01 41 47	10 66	25 39 63	70 76	49 79	42	09
Hiperdecimal	01	00	08;	02	26	22	47
Transporte	01	00	08	04	28	27	56	90
Radicando	01	00	08	04	08	07	06
Raiz	a	b,	c	d	e	f	g
	1	0,	4	1	5	7	3
a	aa 01		bb 00		cc 16		dd 01		ee 25		ff 49		gg 09
b		2ab 2b 00		2bc 00		2cd 8d 08		2de 2e 10		2ef 10f 70		2fg 14g 42
c			2ac 2c 08		2bd 00		2ce 8e 40		2df 2f 14		2eg 10g 30
d				2ad 2d 02		2be 00		2cf 8f 56		2dg 2g 06
e					2ae 2e 10		2bf 00		2cg 8g 24
f						2af 2f 14		2bg 00
g							2ag 2g 06

A raiz é 1041,573.10^-2 = 10,41573. A prova real é:

01.00.08;02.26.22.47.66.63.76.79.42.09 → 01|00|08|;|04|28|27|54|73|71|84|83|42|09 → 108,487 431 432 9

A diferença simples é:

66.63.76.79.42.09 → 73|71|84|83|42|09 → 73.01.04.03.02.09

90 → 89.09.09.09.09.10

89.09.09.09.09.10 - 73.01.04.03.02.09 = 16.08.05.06.07.01 → 1685671.10^-10 = 0,000 168 567 1

Outro modo de se continuar o algoritmo consiste no agrupamento do modo de recorrência. Utilizando tal mecanismo para se calcular mais 7 dígitos da raiz:

Soma parcial

66 82

63

76 140 158

79 95 97

42 122 194 212

09 121 139 147 155

48 138 140 212 222

64 190 200 218 250

54 68 158 166 206

144 150 276 316 326

16 70 126 176

81 225 249 319

18 82 112

01 163 243

18 90

81 89 179

72 82

16 106

40

25

Hiperdecimal

82

63

158

97

212

155

222

Transporte

90

80

170

120

230

180

250

280

Radicando

Raiz

a

b,

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

1

0,

4

1

5

7

3

8

0

9

1

9

4

5

h

2ah 2h 16

2bh 00

2ch 8h 64

2dh 2h 16

2eh 10h 80

2fh 14h 112

2gh 6h 48

hh 64

i

2ai 2i 00

2bi 00

2ci 8i 00

2di 2i 00

2ei 10i 00

2fi 14i 00

2gi 6i 00

2hi 16i 00

ii 00

j

2aj 2j 18

2bj 00

2cj 8j 72

2dj 2j 18

2ej 10j 90

2fj 14j 126

2gj 6j 54

2hj 16j 144

2ij 00

jj 81

k

2ak 2k 02

2bk 00

2ck 8k 08

2dk 2k 02

2ek 10k 10

2fk 14k 14

2gk 6k 06

2hk 16k 16

2ik 00

2jk 18k 18

kk 01

l

2al 2l 18

2bl 00

2cl 8l 72

2dl 2l 18

2el 10l 90

2fl 14l 126

2gl 6l 54

2hl 16l 144

2il 00

2jl 18l 162

2kl 2l 18

ll 81

m

2am 2m 08

2bm 00

2cm 8m 32

2dm 2m 08

2em 10m 40

2fm 14m 56

2gm 6m 24

2hm 16m 64

2im 00

2jm 18m 72

2km 2m 08

2lm 18m 72

mm 16

n

2an 2n 10

2bn 00

2cn 8n 40

2dn 2n 10

2en 10n 50

2fn 14n 70

2gn 6n 30

2hn 16n 80

2in 00

2jn 18n 90

2kn 2n 10

2ln 18n 90

2mn 8n 40

nn 25

A raiz é 10,415738091945. A prova real total é:

01.00.08;02.26.22.47.82.63.158.97.212.155.222.250.206.326.176.319.112.243.90.179.82.106.40.25 →

01.00.08;04|28|27|55|89|79|169|119|229|179|249|274|240|346|209|332|137|253|108|188|93|110|42|25 →

108,487 599 999 994 069 273 883 025 = 108,487 59₇4 069 273 883 025

A diferença é menor do que 6.10^-12. Precisamente: 5,930 726 116 975.10^-12.

As raízes cúbicas serão tratadas em capítulo à parte.