Otimização/Conjuntos convexos


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Intersecção de conjuntos convexos é convexoEditar

Sejam   conjuntos convexos, onde  

Seja  . Para quaisquer   temos que   para qualquer  .

Como todo   é convexo, para quaisquer   e  ,  

Conjunto PoliedralEditar

Definição

Um conjunto é poliedral se é a intersecção finita de hiperplanos e semi-espaços

Um conjunto poliedral em   é convexoEditar

O fecho e o interior de um conjunto convexo são convexosEditar


A soma de convexos fechados é convexo e fechadoEditar

Sejam  , conjuntos convexos e fechados. Um deles é limitado.

Mostrar que   é um conjunto convexo e fechadoEditar

Combinação convexa de p pontosEditar

Definição

Seja  . A combinação convexa dos   é o ponto 

Teorema da combinação convexaEditar

Um conjunto   é convexo se, e somente se, a combinação convexa  ,  ,

Desigualdade de JensenEditar

Sejam   um conjunto convexo e   uma função convexa,  

Mostrar que  Editar

Teorema de CarathéodoryEditar

Seja   uma combinação convexa de pontos do conjunto  .

Mostrar que  Editar

Fecho convexoEditar

Definição

O fecho convexa de um conjunto qualquer D é o menor conjunto convexo que contem D e simbolizado por conv D.

Definição

O conjunto de todas as combinações convexas de pontos de D, simbolizaremos por  .

Corolário de um fecho convexoEditar

Se  

Mostrar que conv D = comb DEditar

Corolário da compacidade do conv DEditar

Seja   compacto

Mostrar que conv D é compactoEditar