Otimização/Situação inicial

Embora se possa trabalhar com mínimos e máximos, ao longo dos próximos capítulos só trabalharemos com mínimos, pois achar o máximo de uma função $f$ é equivalente a achar o mínimo da função $-f.$

Mínimo global

Sejam $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ e $f:D\rightarrow \mathbb {R} .$ Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o $\operatorname {min} \;f(x),\forall \;x\in D.$

Definição

Dizemos que um ponto ${\bar {x}}\in D$ é mínimo global, se $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D.$

Máximo global

Seja $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ e $f:D\rightarrow \mathbb {R} .$ Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o $\operatorname {max} \;f(x),\forall \;x\in D.$

Definição

Dizemos que um ponto ${\bar {x}}\in D$ é máximo global, se $f({\bar {x}})\geq f(x),\forall \;x\in D.$

Mínimo local

Seja $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ e $f:D\rightarrow \mathbb {R} .$ Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o $\operatorname {min} \;f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}}).$

Definição

Dizemos que um ponto ${\bar {x}}\in D$ é mínimo local, se

$f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}})$ onde $B_{\epsilon }({\bar {x}})=\{x\in D;\;\|x-{\bar {x}}\|<\epsilon \}.$

Máximo local

Seja $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ e $f:D\rightarrow \mathbb {R} .$ Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o $\operatorname {max} \;f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}}).$

Definição

Dizemos que um ponto ${\bar {x}}\in D$ é máximo local, se $f({\bar {x}})\geq f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}})$ onde $B_{\epsilon }({\bar {x}})=\{x\in D;\;\|x-{\bar {x}}\|<\epsilon \}.$

Exemplos

Seja $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ;D_{1},D_{2}\subset \mathbb {R} ,$ tais que $D_{2}\subset D_{1}.$

Exemplo 1

Mostrar que $\inf _{x\in D_{1}}f(x)\leq \inf _{x\in D_{2}}f(x).$

Afirmação: $f(y)=\inf _{x\in D_{1}}f(x)\Rightarrow f(y)\leq f(x),\forall \;x\in D_{1}$ e $f(z)=\inf _{x\in D_{2}}f(x)\Rightarrow f(z)\leq f(x),\forall \;x\in D_{2}.$

Prova1: Tome $t\in D_{2}\subset D_{1}\Rightarrow t\in D_{1}\Rightarrow f(y)\leq f(t),\forall \;t\in D_{2}\Rightarrow f(y)\leq f(z).$

Prova2: Suponha por contradição que $\inf _{x\in D_{2}}f(x)<\inf _{x\in D_{1}}f(x)\Rightarrow f(z)<f(y).$ Mas $z\in D_{2}\subset D_{1}\Rightarrow z\in D_{1}\Rightarrow f(y)\leq f(z).$ Logo $f(z)<f(y)\leq f(z).$ Contradição! A contradição foi supor que $\inf _{x\in D_{2}}f(x)<\inf _{x\in D_{1}}f(x).$

Portanto, $\inf _{x\in D_{1}}f(x)\leq \inf _{x\in D_{2}}f(x).$

Exemplo 2

Seja $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ;D_{1},D_{2}\subset \mathbb {R} ,$ tais que ${\bar {x}}\in D_{2}\subset D_{1}.$ Seja $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D_{1}.$

Mostrar que $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D_{2}.$

Suponha por contradição que $\exists \;z\in D_{2}$ tal que $f(z)<f({\bar {x}}).$ Por $z\in D_{2}\subset D_{1}\Rightarrow f({\bar {x}})\leq f(z).$ Logo $f(z)<f({\bar {x}})\leq f(z).$ Contradição! A contradição foi supor que $\exists \;z\in D_{2}$ tal que $f(z)<f({\bar {x}}).$ Portanto $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D_{2}.$