Este livro ou módulo precisa ser formatado segundo o modelo wiki e/ou organizado conforme as convenções do Wikilivros . (discuta )formatar este módulo de acordo com as diretrizes estabelecidas no livro de estilo .Editor: considere colocar o mês e o ano da marcação.
Dada a função
f
(
x
)
=
f
(
x
1
∗
,
x
2
∗
,
x
3
∗
,
.
.
.
,
x
n
∗
)
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=f({\color {Red}x_{1}}^{*},{\color {OliveGreen}x_{2}}^{*},{\color {RubineRed}x_{3}}^{*},...,x_{n}^{*})\!}
(
x
1
∗
,
x
2
∗
,
x
3
∗
.
.
.
,
x
n
∗
)
{\displaystyle ({\color {Red}x_{1}}^{*},{\color {OliveGreen}x_{2}}^{*},{\color {RubineRed}x_{3}}^{*}...,x_{n}^{*})\!}
ponto crítico é que todas as derivadas parciais, calculadas naquele ponto específico, sejam iguais a zero [1] ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou de sela, é preciso calcular o determinante da matriz hessiana e seus menores principais . Para isso, pode-se seguir os seguintes passos:
Calcular as "n" derivadas de primeira ordem da função f. O resultado serão "n" funções das variáveis do vetor nX1
(
x
)
{\displaystyle (\mathbf {x} )}
Igualar cada uma das "n" funções do passo 1 a zero . Com isso, serão descobertos valores para cada uma das variáveis
x
1
,
x
2
,
x
3
,
.
.
.
,
x
n
{\displaystyle {\color {Red}x_{1}},{\color {OliveGreen}x_{2}},{\color {RubineRed}x_{3}},...,x_{n}}
ponto crítico , de
(
x
1
∗
,
x
2
∗
,
x
3
∗
,
.
.
.
,
x
n
∗
)
{\displaystyle ({\color {Red}x_{1}}^{*},{\color {OliveGreen}x_{2}}^{*},{\color {RubineRed}x_{3}}^{*},...,x_{n}^{*})}
vetor nX1 destes valores (números ) será chamado de
x
∗
=
[
x
1
∗
x
2
x
3
∗
⋮
x
n
∗
]
{\displaystyle \mathbf {x^{*}} ={\begin{bmatrix}{\color {Red}x_{1}}^{*}\\{\color {OliveGreen}x_{2}}\\{\color {RubineRed}x_{3}}^{*}\\\vdots \\x_{n}^{*}\end{bmatrix}}}
ponto crítico .
A partir das derivadas de primeira ordem calculadas no item 1, calcular as derivadas de segunda ordem da função f e montar a matriz hessiana nXn. Notar que é possível que muitos elementos desta matriz sejam função das variáveis
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle ({\color {Red}x_{1}},{\color {OliveGreen}x_{2}},...,x_{n})\!}
Substitua as variáveis
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle ({\color {Red}x_{1}},{\color {OliveGreen}x_{2}},{\color {RubineRed}x_{3}},...,x_{n})}
matriz hessiana montada no item 3, pelos valores correspondentes do ponto crítico , ou seja, pelos valores do vetor
x
∗
{\displaystyle \mathbf {x^{*}} }
matriz resultante não terá mais variáveis, somente números . Por exemplo, a derivada da função f em relação à variável
x
2
{\displaystyle {\color {OliveGreen}x_{2}}}
variável
x
1
{\displaystyle {\color {Red}x_{1}}}
vetor
(
x
∗
)
{\displaystyle (\mathbf {x^{*}} )}
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
1
(
x
∗
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )}
número .
A partir da matriz resultante do item 4, calcular os menores principais . Os resultados serão números .
|
H
1
|
=
|
∂
2
f
∂
x
1
2
(
x
∗
)
|
{\displaystyle \left|H_{1}\right\vert =\left|{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )\right\vert }
|
H
2
|
=
|
∂
2
f
∂
x
1
2
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
2
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
1
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
2
2
(
x
∗
)
|
{\displaystyle \left|H_{2}\right\vert ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}\,\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\end{vmatrix}}}
|
H
3
|
=
|
∂
2
f
∂
x
1
2
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
2
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
3
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
1
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
2
2
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
3
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
3
∂
x
1
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
3
∂
x
2
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
3
2
(
x
∗
)
|
{\displaystyle \left|H_{3}\right\vert ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}\,\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}\,\partial {\color {RubineRed}x_{3}}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial {\color {RubineRed}x_{3}}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}\,\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\end{vmatrix}}}
|
H
n
|
=
|
∂
2
f
∂
x
1
2
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
2
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
3
(
x
∗
)
⋯
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
n
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
1
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
2
2
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
3
(
x
∗
)
⋯
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
n
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
3
∂
x
1
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
3
∂
x
2
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
3
2
(
x
∗
)
⋯
∂
2
f
∂
x
3
∂
x
n
(
x
∗
)
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
∂
2
f
∂
x
n
∂
x
1
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
n
∂
x
2
(
x
∗
)
∂
2
f
∂
x
n
∂
x
3
(
x
∗
)
⋯
∂
2
f
∂
x
n
2
(
x
∗
)
|
=
|
H
n
|
{\displaystyle \left|H_{n}\right\vert ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}\,\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}\,\partial {\color {RubineRed}x_{3}}}}(\mathbf {x^{*}} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}\,\partial x_{n}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial {\color {RubineRed}x_{3}}}}(\mathbf {x^{*}} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial x_{n}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}\,\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}\,\partial x_{n}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial {\color {RubineRed}x_{3}}}}(\mathbf {x^{*}} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )\end{vmatrix}}=\left|H_{n}\right\vert }
matriz hessiana calculada no item 4.
Verificar o sinal dos menores principais do item 5[2]
Se e somente se...
...o que é a mesma coisa que dizer que...
...podemos concluir que...
|
H
1
|
>
0
,
|
H
2
|
>
0
,
|
H
3
|
>
0
,
.
.
.
.
{\displaystyle \left|H_{1}\right\vert >0,\left|H_{2}\right\vert >0,\left|H_{3}\right\vert >0,....}
A matriz H calculada no item 4 é positiva definida
ponto crítico
(
x
1
∗
,
x
2
∗
,
x
3
∗
,
.
.
.
,
x
n
∗
)
{\displaystyle ({\color {Red}x_{1}}^{*},{\color {OliveGreen}x_{2}}^{*},{\color {RubineRed}x_{3}}^{*},...,x_{n}^{*})}
|
H
1
|
<
0
,
|
H
2
|
<
0
,
|
H
3
|
<
0
,
.
.
.
.
{\displaystyle \left|H_{1}\right\vert <0,\left|H_{2}\right\vert <0,\left|H_{3}\right\vert <0,....}
A matriz H calculada no item 4 é negativa definida
ponto crítico
(
x
1
∗
,
x
2
∗
,
x
3
∗
,
.
.
.
,
x
n
∗
)
{\displaystyle ({\color {Red}x_{1}}^{*},{\color {OliveGreen}x_{2}}^{*},{\color {RubineRed}x_{3}}^{*},...,x_{n}^{*})}
↑ CHIANG, Alpha C. Fundamental Methods in Mathematical Economics . 3ª edição. McGraw-Hill, Inc. 1984. ISBN 0-07-010813-7 . Seção 11.4, "Objective functions with more than two variables" .Página 332.
↑ CHIANG, Alpha C. Fundamental Methods in Mathematical Economics . 3ª edição. McGraw-Hill, Inc. 1984. ISBN 0-07-010813-7 . Seção 11.4, "Objective functions with more than two variables" .Página 333.
