Otimização/Uso da matriz hessiana para caracterizar pontos críticos

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Dada a função , a condição necessária para que um determinado ponto seja um ponto crítico é que todas as derivadas parciais, calculadas naquele ponto específico, sejam iguais a zero[1]. No entanto, para definir se este ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou de sela, é preciso calcular o determinante da matriz hessiana e seus menores principais. Para isso, pode-se seguir os seguintes passos:

Passo 1Editar

Calcular as "n" derivadas de primeira ordem da função f. O resultado serão "n" funções das variáveis do vetor nX1  .

Passo 2Editar

Igualar cada uma das "n" funções do passo 1 a zero. Com isso, serão descobertos valores para cada uma das variáveis  . Chamaremos estes valores, cujas coordenadas compõem o ponto crítico, de  . Igualmente, o vetor nX1 destes valores (números) será chamado de  . Reservar este ponto crítico.

Passo 3Editar

A partir das derivadas de primeira ordem calculadas no item 1, calcular as derivadas de segunda ordem da função f e montar a matriz hessiana nXn. Notar que é possível que muitos elementos desta matriz sejam função das variáveis  .

Passo 4Editar

Substitua as variáveis  , presentes na matriz hessiana montada no item 3, pelos valores correspondentes do ponto crítico, ou seja, pelos valores do vetor  . A matriz resultante não terá mais variáveis, somente números. Por exemplo, a derivada da função f em relação à variável  , por sua vez derivada em relação à variável  , calculada para o vetor  , será representado por   e significa um número.

Passo 5Editar

A partir da matriz resultante do item 4, calcular os menores principais. Os resultados serão números.

  •  ,
  •  
  •  
  • ...
  •  =determinante da matriz hessiana calculada no item 4.

Passo 6Editar

Verificar o sinal dos menores principais do item 5[2]:

Se e somente se... ...o que é a mesma coisa que dizer que... ...podemos concluir que...
  A matriz H calculada no item 4 é positiva definida ponto crítico  , calculado no item 2, é ponto de mínimo.
  A matriz H calculada no item 4 é negativa definida ponto crítico  , calculado no item 2, é ponto de máximo.

ReferênciasEditar

  1. CHIANG, Alpha C. Fundamental Methods in Mathematical Economics. 3ª edição. McGraw-Hill, Inc. 1984. ISBN 0-07-010813-7. Seção 11.4, "Objective functions with more than two variables" .Página 332.
  2. CHIANG, Alpha C. Fundamental Methods in Mathematical Economics. 3ª edição. McGraw-Hill, Inc. 1984. ISBN 0-07-010813-7. Seção 11.4, "Objective functions with more than two variables" .Página 333.