Vamos começar agora, na prática, a calcular probabilidades de eventos. Consideremos o espaço amostral finito. É o caso mais simples, e a partir dele poderemos desenvolver as idéias da seção anterior. Assim, podemos considerar:
Já observamos anteriormente que é uma classe formada por todos os subconjuntos de . Precisamos contruir , uma probabilidade definida em . Vamos começar observando que, , com , se é um evento do espaço amostral , então podemos definir a probabilidade de ocorrer como um número tal que .
Podemos notar que .
Além disso, o deve ser escolhido de modo que , pois, como já vimos, uma probabilidade possui valores sempre entre e .
De modo que:
.
Ou seja, a soma de todos os corresponde à probabilidade do espaço amostral, que já vimos ser igual a .
Agora, consideremos um evento qualquer , com . Temos que , ou seja, a união de todos os constitui um evento , que por sua vez é subconjunto do espaço amostral .
De modo que as probabilidades devem satisfazer:
.
Ou seja, a probabilidade do evento ocorrer deve ser a soma das probabilidades de todos os elementos escolhidos ao acaso que compõem o conjunto .
Precisamos, ainda, tornar mais precisa a expressão "escolher ao acaso".
Para tanto, consideremos objetos. Quando afirmamos que escolhemos ao acaso um dos objetos, isto significa que cada um dos objetos teve a mesma chance de ser escolhido.
Se os resultados particulares do evento são igualmente prováveis, ou seja, , decorre que:
No caso do evento qualquer, temos:
.
Tal modo de enunciar é frequentemente encontrado da seguinte forma:
Entretanto, a expressão acima não serve como definição geral de probabilidade. Ela é somente uma consequência do fato de que todos os resultados do evento são equiprováveis, e só deve ser usada quando isto acontecer.
Consideremos um escritório formado por uma população distribuída da seguinte forma:
3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos;
4 pessoas são homens maiores de 30 anos;
5 pessoas são mulheres menores de 30 anos;
4 pessoas são homens menores de 30 anos.
Escolhemos uma pessoa do escritório, ao acaso. Dados os eventos
calcule as probabilidades e .
Nota: Utilizaremos o símbolo sucedido de um conjunto para denotar o número de elementos do conjunto.
Inicialmente, vamos procurar saber qual o número de elementos de cada conjunto. Podemos notar que , , , e .
Assim, torna-se possível descobrir a probabilidade de ocorrência de cada evento, a saber:
, , , .
Queremos saber , o que corresponde à probabilidade de escolher ou uma pessoa maior de 30 anos, ou uma mulher. Calculando:
significa a probabilidade de escolher uma pessoa maior de 30 anos e mulher. Do próprio enunciado, sabemos que 3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos, então . Portanto,
Para calcular , basta perceber que e que . Daí tiramos que , conforme calculamos anteriormente.