Probabilidade e Estatística/Espaços amostrais finitos

Construindo probabilidades em espaços amostrais finitosEditar

Vamos começar agora, na prática, a calcular probabilidades de eventos. Consideremos o espaço amostral   finito. É o caso mais simples, e a partir dele poderemos desenvolver as idéias da seção anterior. Assim, podemos considerar:

 

Já observamos anteriormente que   é uma classe formada por todos os subconjuntos de  . Precisamos contruir  , uma probabilidade definida em  . Vamos começar observando que,  , com  , se   é um evento do espaço amostral  , então podemos definir a probabilidade de   ocorrer como um número   tal que  .

Podemos notar que  .

Além disso, o   deve ser escolhido de modo que  , pois, como já vimos, uma probabilidade possui valores sempre entre   e  .

De modo que:

 .

Ou seja, a soma de todos os   corresponde à probabilidade do espaço amostral, que já vimos ser igual a  .

Agora, consideremos um evento qualquer  , com  . Temos que  , ou seja, a união de todos os   constitui um evento  , que por sua vez é subconjunto do espaço amostral  .

De modo que as probabilidades   devem satisfazer:

 .

Ou seja, a probabilidade do evento   ocorrer deve ser a soma das probabilidades de todos os elementos escolhidos ao acaso   que compõem o conjunto  .

Precisamos, ainda, tornar mais precisa a expressão "escolher ao acaso". Para tanto, consideremos   objetos. Quando afirmamos que escolhemos ao acaso um dos   objetos, isto significa que cada um dos objetos teve a mesma chance de ser escolhido.

Se os resultados particulares do evento   são igualmente prováveis, ou seja,  , decorre que:

 

No caso do evento   qualquer, temos:

 .

Tal modo de enunciar   é frequentemente encontrado da seguinte forma:

 

Entretanto, a expressão acima não serve como definição geral de probabilidade. Ela é somente uma consequência do fato de que todos os resultados do evento são equiprováveis, e só deve ser usada quando isto acontecer.

ExemplosEditar

  • Consideremos um escritório formado por uma população distribuída da seguinte forma:
    • 3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos;
    • 4 pessoas são homens maiores de 30 anos;
    • 5 pessoas são mulheres menores de 30 anos;
    • 4 pessoas são homens menores de 30 anos.

Escolhemos uma pessoa do escritório, ao acaso. Dados os eventos

 
 
 
 

calcule as probabilidades   e  .

Nota: Utilizaremos o símbolo   sucedido de um conjunto para denotar o número de elementos do conjunto.

Inicialmente, vamos procurar saber qual o número de elementos de cada conjunto. Podemos notar que  ,  ,  ,   e  .

Assim, torna-se possível descobrir a probabilidade de ocorrência de cada evento, a saber:

 ,  ,  ,  .

Queremos saber  , o que corresponde à probabilidade de escolher ou uma pessoa maior de 30 anos, ou uma mulher. Calculando:

 

  significa a probabilidade de escolher uma pessoa maior de 30 anos e mulher. Do próprio enunciado, sabemos que 3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos, então  . Portanto,

 

Para calcular  , basta perceber que   e que  . Daí tiramos que  , conforme calculamos anteriormente.