Probabilidade e Estatística/Probabilidade

Um dos ramos da matemática que é mais importante para a Estatística é a Teoria das Probabilidades. Esta teoria, por sua vez, está bastante embasada na Teoria dos Conjuntos. Este capítulo tem por objetivo explicar os fundamentos desta teoria.

Definições e Axiomas da Teoria dos Conjuntos

• O Espaço Amostral é um conjunto formado por todos os resultados possíveis em qualquer fenômeno aleatório. Ele é representado pela letra grega maiúscula $\Omega$ (Ômega).
• Evento é o nome que se dá à qualquer sub-conjunto do Espaço Amostral. Eles são representados por letras maiúsculas, como A, B, C, etc... O conjunto vazio é representado por Ø.
• Por serem subconjuntos, é possível realizar a operação de união (U) entre conjuntos. A União de Eventos representa a ocorrência de um evento OU de outro.
• Outra operação que pode ser feita sobre Eventos é a intersecção (∩). A intersecção de eventos representa a ocorrência de um E de outro.
• Diz-se que dois eventos são Mutualmente Exclusivos ou Disjuntos quando eles não possuem nenhum elemento em comum entre si. Ou seja, a ocorrência de qualquer sub-evento que compõe um dos eventos automaticamente faz com que o outro não possa ocorrer. Ou ainda: Se A ∩ B = Ø , então A e B são Disjuntos.
• Caso dois eventos sejam disjuntos, mas a sua união seja igual à todo o Espaço Amostral, significa que eles são complementares. Ou seja, eles são os únicos eventos possíveis de ocorrer. Ou ainda: Se A e B são Disjuntos e A U B = $\Omega$, então A e B são complementares. Ou ainda: A^c=B e B^c=A.

Axiomas da Teoria das Probabilidades

É possível designar à todo e qualquer evento uma Probabilidade. A Probabilidade é uma função que pode receber um evento qualquer e retornar um número real entre 0 e 1. Se a probabilidade de um evento é 0, o evento nunca irá ocorrer. Se a probabilidade é 1, então ele sempre ocorrerá. Na maioria das vezes, a função de probabilidade retorna um número entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 0 é o valor, mais difícil é para o evento acontecer. E quanto mais próximo de 1, mais provável é a ocorrência de um evento. A Teoria das Probabilidades possui os seguintes axiomas:

1 - A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0 e 1. Ou seja: $0\leq P(S)\leq 1$

2 - A Probabilidade de ocorrer algo dentro do Espaço Amostral é 1. Ou seja: $P(\omega )=1$

3 - A Probabilidade de ocorrer a união de todos os Pontos Amostrais é igual à soma da Probabilidade de ocorrer cada um dos Pontos Amostrais. Ou seja:

$\sum _{\omega \in \Omega }P\left(\left\{\omega \right\}\right)=P\left(\bigcup _{\omega \in \Omega }\left\{\omega \right\}\right)$

Propriedades da Teoria das Probabilidades

• 1 - A probabilidade de ocorrer um conjunto vazio pertencente ao conjunto de Pontos Amostrais é sempre zero. Este é um evento impossível. Ou seja:

P(Ø)=0

Ou seja, no lançamento de uma moeda, onde o Espaço Amostral é "Cara" ou "Coroa", é impossível que ocorra um resultado que não é nem um e nem outro.

• 2 - A probabilidade de qualquer subconjunto pertencente ao Conjunto Amostral pode ser calculada através da soma da probabilidade de seus elementos. Ou seja:

$P(A)=\sum {P(\omega _{i})}$ tal que A pertence ao Espaço Amostral e $A=\{\omega _{1};\omega _{2};...;\omega _{n}\}$

Ou seja, no lançamento de um dado de 6 faces, a probabilidade de ocorrer 1 ou 2 é igual à P(1)+P(2).

• 3 - A probabilidade de que ocorra um evento é igual à 1 menos a probabilidade de ocorrer o evento complementar. Ou seja:

$P(A)=1-P({A^{c}})$

Isso significa que a probabilidade de ocorrer o número 5 ou 2 no lançamento de um dado é igual à 1-(P(1)+P(3)+P(4)+P(6))

• 4 - A probabilidade de acontecer a união de dois subconjuntos é a mesma da soma das probabilidades de ambos menos a probabilidade dos dois ocorrerem juntos. Ou seja:

${\textstyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$

Isso significa que a probabilidade de que no lançamento de dois dados ocorram os resultados 1 ou 5 é a mesma de que ocorra o resultado 1 em um dos dados mais a probabilidade de ocorrer resultado 5 em um dos dados menos a probabilidade de que ocorram os dois juntos (esta probabilidade acaba sendo contada duas vezes na operação anterior).

• 5 - Para calcular a probabilidade de um evento, basta dividir o número de Pontos Amostrais nos quais ele ocorre pelo número de pontos amostrais existentes. Isso significa que para calcular a probabilidade de ocorrer o número 3 em um dado de 6 faces, basta dividir 1(3 é apenas um ponto amostral) por 6 (número de todos os pontos amostrais existentes).

Probabilidade Condicional

Muitas vezes, o fenômeno aleatório com o qual trabalhamos pode ser dividido em etapas. A informação do que ocorre em uma etapa pode interferir na probabilidade de ocorrência da próxima etapa. Por exemplo, sabe-se que em uma caixa com 20 ovos (onde metade dos ovos são brancos e a outra metade vermelha), 8 estão quebrados. Dentre os ovos brancos, são 7 os quebrados e dentre os ovos vermelhos, 1 está quebrado. A probabilidade de que um ovo aleatório esteja quebrado é de 0,4 , pois:

${\frac {\text{NÚMERO DE OVOS QUEBRADOS}}{\text{NÚMERO TOTAL}}}={\frac {8}{20}}=0,4.$

Entretanto, sabendo anteriormente que o ovo aleatório é vermelho, chegamos à conclusão que:

${\frac {\text{NÚMERO DE OVOS QUEBRADOS}}{\text{NÚMERO TOTAL}}}={\frac {\text{NÚMERO DE OVOS VERMELHOS QUEBRADOS}}{\text{NÚMERO DE OVOS VERMELHOS}}}{\frac {\text{NÚMERO DE OVOS VERMELHOS}}{\text{NÚMERO TOTAL DE OVOS}}}$ $={\frac {1/20}{10/20}}={\frac {0,05}{0,5}}=0,1.$

Ou seja: $P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)$, onde $P$ é a função de probabilidade e neste caso, $A$ é o evento no qual o ovo está quebrado e $B$ é o evento no qual o ovo é vermelho.

A fórmula acima também nos permite deduzir que: $P(A\cap B)=P(A|B)P(B)$

Eventos Independentes

Dois eventos são ditos independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade de A. Ou seja:

$P(A|B)=P(A)$

Ou ainda:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Perceba que se $A$ é independente de $B$, então $B$ também é independente de $A$.