Red Book - Vestibular/Matemática/Função do segundo grau

Uma horta sendo cercada com um arame de 20 metros.

Introdução

Seu José quer construir um cercadinho para a sua horta, que terá formato triangular. Para isto, ele dispõe de um arame com 20 metros de comprimento.

Mas, ele percebeu que se fizesse um cercadinho retangular com base igual a 3 metros e altura igual a 7 metros (como na figura), a área do cercadinho seria igual à 21 metros quadrados (lembre-se, a área de um retângulo é igual a base vezes a altura), por outro lado, se ele fizesse a base igual a 2 metros e a altura igual à 8 metros, então a área seria 16 metros quadrados. Assim, começou a se perguntar qual seria a área máxima que ele poderia obter com aqueles 20 metros de arame, pois, quanto maior a área, mais ele conseguiria plantar.

Então, qual será a esta área máxima?

Definição

Uma função do segundo grau, também conhecida por função quadrática, é uma função da forma

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

na qual, os valores $a,b$ e $c$ são chamados de coeficientes. O valor $a$ deve ser diferente de zero. Normalmente, definimos o domínio e o contradomínio como sendo o conjunto dos números reais.

Exemplos

Exemplo 1

A função $f(x)=x^{2}$ é uma função do segundo grau (ela é da forma $f(x)=ax^{2}+bx+c$, com $a=1$ e $b=c=0$).

A seguir, há uma tabela com valores de x e valores que a função assume em cada um desses valores de x, além do gráfico. (Tente procurar no gráfico os valores apresentados na tabela).

Este formato do gráfico da função $f(x)=x^{2}$ é chamado de parábola.

Na verdade isto não é exclusividade da função $f(x)=x^{2}$. O gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola. Mas, como veremos a seguir, eles podem ser ligeiramente diferentes...

Gráfico da função f(x) = x^2

x	f(x)
0	0
0.5	0.25
-0.5	-0.25
-1	1
1	1
-2	4
2	4
3	9
-3	9
11	121

Exemplo 2

A função $f(x)=-x^{2}$ também é de segundo grau.

Note que a única diferença dela para a anterior é o sinal de menos. Isto implica que os valores que esta função assume são os mesmos que os que a anterior assume, mas com o sinal trocado. Por exemplo, para $x=3$, a anterior valia 9, mas esta vale -9. Assim, o gráfico desta função é o inverso da outra (faça vc mesmo uma tabela como na anterior e verifique).

Gráfico da função f(x) = -x^2.