Topologia/Grupo livre e apresentação de um grupo

Monóide livre gerado por um conjuntoEditar

Sejam   um espaço vetorial e   uma base de  . Dado qualquer espaço vetorial   e quaisquer elementos  , existe uma aplicação linear   tal que  . Poderíamos dizer que isto acontece porque os elementos   de uma base não estão "relacionados" uns com os outros (formalmente, são linearmente independentes). De fato, se, por exemplo, tivéssemos a relação   para algum escalar   (e então   já não seriam linearmente independentes), então a aplicação linear   podia não existir.

Consideremos um problema semelhante com grupos: dado um grupo   gerado por um conjunto   e dados um qualquer grupo   e um qualquer conjunto  , existirá sempre um morfismo de grupos   tal que  ? A resposta é não. Por exemplo, consideremos o grupo   que é gerado pelo conjunto  , o grupo   (com a operação de adição) e o conjunto  . Se existisse um morfismo de grupos   tal que  , então  , o que é impossível. Mas se tivéssemos escolhido  , então tal morfismo de grupos existiria e seria dado por  . De fato, dado qualquer grupo   e qualquer  , temos um morfismo de grupos   definido por   (em notação multiplicativa) que verifica  . De certo modo, podemos pensar que isto acontece porque os elementos do conjunto   (que gera  ) não verificam relações como   (como  ) ou  . Portanto, parece que   é um grupo mais "livre" do que  .


O nosso objetivo nesta seção vai ser, dado um conjunto  , construir um grupo gerado pelo conjunto   e que seja o mais "livre" possível, no sentido de não ter de obedecer a relações como   ou  . Para isso, vamos começar por definir um monóide "livre" (no mesmo sentido). Informalmente, este monóide vai ser o monóide das palavras escritas com letras do "alfabeto"  , onde a identidade vai ser a palavra sem letras (a "palavra vazia"), e a operação binária do monóide vai ser "juntar" duas palavras para forma uma nova palavra. A notação   que vamos usar para os elementos deste monóide vai ao encontro da ideia de que os elementos deste monóide são palavras   onde   são letras do alfabeto  . Segue-se a definição formal deste monóide.


Definição Seja   um conjunto.

  1. Denotamos os  -uplos   (com   e  ) por  .
  2. Denotamos  , isto é,   com  , por  .
  3. Denotamos por   o conjunto  .
  4. Definimos em   a operação de concatenação   por  .


De seguida provamos que este monóide é efetivamente um monóide. Trata-se de um resultado de demonstração simples.


Proposição   é um monóide com elemento neutro  .

Demonstração A operação   é associativa porque, dados   quaisquer temos

   .

É óbvio que   tem elemento neutro  .  


Seguindo a ideia de que o monóide   é o monóide mais "livre" gerado por  , vamos chamar-lhe monóide livre gerado por  .


Definição Seja   um conjunto. Ao monóide (FM(X),*) chamamos monóide livre gerado por  .


Exemplos

  1. Seja  . Então   e, por exemplo,  .
  2. Seja  . Então   e, por exemplo,  .


Grupo livre gerado por um conjuntoEditar

Passemos agora à construção do grupo mais "livre" gerado por um conjunto  . Informalmente, o que vamos fazer é introduzir no monóide   os elementos inversos que lhe faltam para ser um grupo. Concretizando um pouco mais, vamos tomar um conjunto   equipotente a  , escolher uma bijecção de   em   e deste modo ficar com uma "associação" entre os elementos de   e os elementos de  . Então encaramos o elemento   (com  ) como tendo o elemento   (com  ) como inverso, onde os   estão associados a  , respectivamente. Notemos que a ordem dos elementos em   está "invertida" porque o inverso do produto   tem de ser  , e os   serão, respectivamente, os  . A forma de fazemos com que   seja o inverso de   é tomar uma relação de congruência   que identifica   com  , e passar   ao quociente por esta relação (definindo depois nesse quociente, de forma natural, a operação binária do grupo,  ). Ao passarmos ao quociente, estamos a formalizar a ideia intuitiva de identificar   com  , pois no quociente temos a igualdade  . Passemos então à definição formal.


Definição Seja   um conjunto. Tomemos um outro conjunto   equipotente a   e disjunto de   e seja   uma aplicação bijectiva.

  1. Para cada   denotemos   por  , para cada   denotemos   por   e para cada   denotemos   por  .
  2. Seja   a relação de congruência em   gera por  , isto é,   é a interseção de todas as relações de congruência em   que contêm  . Denotamos o conjunto quociente   por  .


Frequentemente, por abuso de notação, denotamos um elemento   simplesmente por  .

Uma vez que a operação   que queremos definir em   está definida à custa de representantes particulares   e   das classes de equivalência   e  , um primeiro cuidado a ter é verificar que a definição não depende dos representantes escolhidos. Trata-se de uma verificação simples.


Lema Seja   um conjunto. Fica bem definida em   a operação binária   por   (onde   é a relação de congruência de definição anterior).

Demonstração Sejam   quaisquer tais que   e  , isto é,   e  . Por   se relação de congruência em  , temos  , isto é,  .  


Visto então que a definição é legítima, apresentamo-la.


Definição Seja   um conjunto. Definimos em   a operação binária   por  .


Finalmente, verificamos que o grupo que construímos é efetivamente um grupo.


Proposição Seja   um conjunto.   é um grupo com elemento neutro   e onde  .

Demonstração

  1.   é associativo porque    
  2. Vejamos que   é elemento neutro de  . Seja   qualquer. Temos   e, analogamente,  .
  3. Seja   qualquer e vejamos que  . Temos   e, por definição de  ,  , isto é,  , logo   e, analogamente,  .  


Analogamente ao que fizemos com o monóide livre, ao grupo mais "livre" gerado pelo conjunto   vamos chamar grupo livre gerado por  .


Definição Seja   um conjunto. Ao grupo   chamamos grupo livre gerado por  .


Exemplo Seja  . Escolhamos um qualquer conjunto   disjunto (e equipotente) de  . Seja   uma (na verdade, a única) aplicação bijectiva de   em  . Então denotamos   por   e denotamos   por  . Passamos a encarar   e   como elementos inversos. Seja   a relação de congruência de   gerada por  .   é o conjunto das "palavras" escritas no alfabeto  . Por exemplo,  .

Temos   e, por exemplo,  , pois de   (logo  ) e de   ser relação de congruência, vem que podemos "multiplicar" ambos os "membros" da relação   e obter  . Encaramos   como significando que em   temos   (em rigor,  ), e pensamos nesta igualdade como sendo resultado de um   "anular-se" com   em  .

Dado  , denotemos o número exato de vezes que a "letra"   ocorre em   por   e denotemos o número exato de vezes que a "letra"   ocorre em   por  . Então "cortando"  's com  's ficamos com uma palavra reduzida com   vezes a letra   (se  , entendamos que não há letras   e fica   vezes a letra  ). Denotemos este número   por  . Temos

  1.   se e só se   e
  2.  .

Assim, cada elemento   fica determinado pelo número inteiro   e o produto   de dois elementos   corresponde à soma dos seus inteiros associados   e  . Assim, parece que o grupo   é "semelhante" a  . Com efeito   é isomorfo a   e a aplicação   é um isomorfismo de grupos.

Apresentação de um grupoEditar

Informalmente, parece que   é obtido do grupo "livre"   impondo a relação  . Vamos tentar formalizar esta ideia. Partimos de um conjunto   que gera um grupo   que queremos criar e de um conjunto de relações   (tais como   ou  ) que os elementos de   devem verificar e obtemos o grupo   gerado por   e que verifica as relações  . Mais precisamente, escrevemos cada relação   na forma   (por exemplo,   escreve-se na forma  ) e encaramos   como uma "palavra" de  . Como   não tem necessariamente de ser um subgrupo normal de  , não podemos considerar o quociente  , pelo que consideramos o quociente   onde   é o subgrupo normal de   gerado por  . Em  , vamos ter  , o que encaramos como significando que em   os elementos   e   são o mesmo. Assim,   vai verificar todas as relações que queremos e vai ser gerado por   (mais precisamente, por  ). Formalizamos de seguida esta ideia.


Definição Seja   um grupo. Chamamos apresentação de  , e denotamos por  , a um par ordenado   onde   é um conjunto,   e  , onde   é o subgrupo normal de   gerado por  . Numa apresentação  , a   chamamos conjunto gerador e a   chamamos conjunto das relações.


Vejamos exemplos de apresentações do grupo livre   e dos grupos  ,  ,   e  . Aproveitamos também os exemplos para expor alguma notação usual e mostrar que a apresentação de um grupo não tem de ser única.


Exemplos

  1. Seja   um conjunto.   é uma apresentação de   porque  , onde   é o subgrupo normal de   gerado por  . Em particular,   é uma apresentação de  , mais usualmente denotada por  . Outra apresentação de   é  , mais usualmente denotada por  . Informalmente, na apresentação   introduzimos um novo elemento   no conjunto gerador, mas depois impomos a relação  , isto é,  , o que na prática é o mesmo que nem ter introduzido   e ter ficado pela apresentação  .
  2. Seja  .   (onde     vezes) é uma apresentação de  . Com efeito, o subgrupo de   gerado por   é   e  , logo  . É mais usual denotar   por  .
  3. Sejam   (com   e   distintos) e  .   é uma apresentação de  . Informalmente, o que fazemos é impor em   que haja comutatividade, isto é,  , ou seja,  , obtendo um grupo isomorfo a  . É mais usual denotar   por  .
  4. Sejam   e  .   é uma apresentação de  . Informalmente, o que fazemos é impor a comutatividade da mesma forma que no exemplo anterior, e impomos ainda   e   para obtermos   em vez de  . É mais usual denotar   por  .
  5.  , mais usualmente escrito  , é uma apresentação de  , o grupo das permutações de   com a composição de aplicações. Para verificar isto, podemos verificar que qualquer grupo com apresentação   tem exatamente seis elementos  ,  ,  ,  ,  ,   e  , e que a multiplicação destes elementos resulta na seguinte tabela de Cayley que é igual à tabela de Cayley de  . Apenas para dar uma ideia de como o podemos fazer, um grupo com apresentação   tem exatamente os elementos  ,  ,  ,  ,  ,   e   porque nenhuns destes elementos são iguais (as relações   não permitem concluir que dois destes elementos são iguais) e porque "outros" elementos como   são na realidade alguns dos elementos anteriores (por exemplo, de   temos  , e tomando inversos de ambos os membros, temos  , que, usando  , isto é,  ,   e  , resulta em  ). Então, usando as relações da apresentação, podemos calcular a tabela de Cayley. Por exemplo,   porque temos a relação  . Outro exemplo: temos   porque podemos multiplicar ambos os membros da relação   por   e então usar  . Podíamos ter suspeitado desta representação tomando  ,   e   e depois, tentando construir a tabela de Cayley de  , descoberto que tal era possível se soubéssemos que  .
             
             
             
             
             
             
             


É natural perguntar se todo o grupo tem uma apresentação. O teorema seguinte diz-nos que sim, e dá-nos até uma apresentação.


Teorema Sejam   um grupo.

  1. A aplicação   definida por   (onde  ) é um epimorfismo de grupos.
  2.   é uma apresentação de  .

Demonstração

  1.   está bem definida porque todo o elemento de   tem uma representação única na forma   com  , a menos de   surgir várias vezes na representação, o que não afeta o valor de  . Sejam   quaisquer, onde  . Temos    , logo   é morfismo de grupos. Como  , então   é epimorfismo de grupos.
  2. Pelo primeiro teorema do isomorfismo (para grupos), temos  , logo   é uma apresentação de  .  


O teorema anterior, embora dê uma apresentação do grupo  , não nos dá uma "boa" apresentação, pois o conjunto gerador   é usualmente bastante maior do que outros conjuntos geradores, e o conjunto das relações   é também usualmente bastante maior do que outros conjuntos de relações suficientes (é até um subgrupo normal de  , quando bastava que gerasse um subgrupo normal apropriado).