Topologia/Grupo livre e apresentação de um grupo

Monóide livre gerado por um conjunto

Sejam $V$ um espaço vetorial e $v_{1},\ldots ,v_{n}$ uma base de $V$. Dado qualquer espaço vetorial $W$ e quaisquer elementos $w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$, existe uma aplicação linear $\varphi :V\rightarrow W$ tal que $\forall i\in \{1,\ldots ,n\},\,\varphi (v_{i})=w_{i}$. Poderíamos dizer que isto acontece porque os elementos $v_{1},\ldots ,v_{n}$ de uma base não estão "relacionados" uns com os outros (formalmente, são linearmente independentes). De fato, se, por exemplo, tivéssemos a relação $v_{1}=\lambda v_{2}$ para algum escalar $\lambda$ (e então $v_{1},\ldots ,v_{n}$ já não seriam linearmente independentes), então a aplicação linear $\varphi$ podia não existir.

Consideremos um problema semelhante com grupos: dado um grupo $G$ gerado por um conjunto $X=\{x_{i}:i\in I\}\subseteq G$ e dados um qualquer grupo $H$ e um qualquer conjunto $Y=\{y_{i}:i\in I\}\subseteq H$, existirá sempre um morfismo de grupos $\varphi :G\rightarrow H$ tal que $\forall i\in I,\,\varphi (x_{i})=y_{i}$? A resposta é não. Por exemplo, consideremos o grupo $G=\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ que é gerado pelo conjunto $X=\{1\}$, o grupo $Y=\mathbb {R}$ (com a operação de adição) e o conjunto $Y=\{2\}$. Se existisse um morfismo de grupos $\varphi :\mathbb {Z} _{n}\rightarrow \mathbb {R}$ tal que $\varphi (1)=y$, então $2n=n\varphi (1)=\varphi (n\,1)=\varphi (0)=0$, o que é impossível. Mas se tivéssemos escolhido $G=\mathbb {Z}$, então tal morfismo de grupos existiria e seria dado por $\varphi (t)=2t$. De fato, dado qualquer grupo $H$ e qualquer $y\in H$, temos um morfismo de grupos $\varphi :\mathbb {Z} \rightarrow H$ definido por $\varphi (t)=y^{t}$ (em notação multiplicativa) que verifica $\varphi (1)=y$. De certo modo, podemos pensar que isto acontece porque os elementos do conjunto $X=\{1\}\subseteq \mathbb {Z}$ (que gera $\mathbb {Z}$) não verificam relações como $nx=1$ (como $\mathbb {Z} _{n}$) ou $xy=yx$. Portanto, parece que $\mathbb {Z}$ é um grupo mais "livre" do que $\mathbb {Z} _{n}$.

O nosso objetivo nesta seção vai ser, dado um conjunto $X$, construir um grupo gerado pelo conjunto $X$ e que seja o mais "livre" possível, no sentido de não ter de obedecer a relações como $x^{n}=1$ ou $xy=yx$. Para isso, vamos começar por definir um monóide "livre" (no mesmo sentido). Informalmente, este monóide vai ser o monóide das palavras escritas com letras do "alfabeto" $X$, onde a identidade vai ser a palavra sem letras (a "palavra vazia"), e a operação binária do monóide vai ser "juntar" duas palavras para forma uma nova palavra. A notação $x_{1}\ldots x_{n}$ que vamos usar para os elementos deste monóide vai ao encontro da ideia de que os elementos deste monóide são palavras $x_{1}\ldots x_{n}$ onde $x_{1},\ldots ,x_{n}$ são letras do alfabeto $X$. Segue-se a definição formal deste monóide.

Definição Seja $X$ um conjunto.

1. Denotamos os $n$-uplos $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ (com $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ e $n\in \mathbb {N} \cup \{0\}$) por $x_{1}\ldots x_{n}$.
2. Denotamos $()$, isto é, $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ com $n=0$, por $1$.
3. Denotamos por $FM(X)$ o conjunto $\{x_{1}\ldots x_{n}:n\in \mathbb {N} \cup \{0\}\,\wedge \,x_{1},\ldots ,x_{n}\in X\}$.
4. Definimos em $FM(X)$ a operação de concatenação $*$ por $x_{1}\ldots x_{m}*y_{1}\ldots y_{n}=x_{1}\ldots x_{m}y_{1}\ldots y_{n}$.

De seguida provamos que este monóide é efetivamente um monóide. Trata-se de um resultado de demonstração simples.

Proposição $(FM(X),*)$ é um monóide com elemento neutro $1$.

Demonstração A operação $*$ é associativa porque, dados $x_{1}\ldots ,x_{m},y_{1}\ldots ,y_{n},z_{1}\ldots z_{p}\in FM(X)$ quaisquer temos

$(x_{1}\ldots x_{m}*y_{1}\ldots y_{n})*z_{1}\ldots z_{m}=x_{1}\ldots x_{m}y_{1}\ldots y_{n}*z_{1}\ldots z_{m}=$ $x_{1}\ldots x_{m}y_{1}\ldots y_{n}z_{1}\ldots z_{m}=x_{1}\ldots x_{m}*(y_{1}\ldots y_{n}z_{1}\ldots z_{m})=x_{1}\ldots x_{m}(y_{1}\ldots y_{n}*z_{1}\ldots z_{m})$.

É óbvio que $(FM(X),*)$ tem elemento neutro $1$. $\square$

Seguindo a ideia de que o monóide $(FM(X),*)$ é o monóide mais "livre" gerado por $X$, vamos chamar-lhe monóide livre gerado por $X$.

Definição Seja $X$ um conjunto. Ao monóide (FM(X),*) chamamos monóide livre gerado por $X$.

Exemplos

1. Seja $X=\{x\}$. Então $FM(X)=\{1,x,xx,xxx,\ldots \}$ e, por exemplo, $xx*xxx=xxxxx$.
2. Seja $X=\{x,y,z\}$. Então $1,x,y,z,xxx,yxz,xyzzz\in FM(X)$ e, por exemplo, $xxx*yxz=xxxyxz$.

Grupo livre gerado por um conjunto

Passemos agora à construção do grupo mais "livre" gerado por um conjunto $X$. Informalmente, o que vamos fazer é introduzir no monóide $FM(X)$ os elementos inversos que lhe faltam para ser um grupo. Concretizando um pouco mais, vamos tomar um conjunto ${\bar {X}}$ equipotente a $X$, escolher uma bijecção de $X$ em ${\bar {X}}$ e deste modo ficar com uma "associação" entre os elementos de $X$ e os elementos de ${\bar {X}}$. Então encaramos o elemento $x_{1}\ldots x_{n}\in FM(X)$ (com $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$) como tendo o elemento ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ (com ${\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}}\in X$) como inverso, onde os $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ estão associados a ${\overline {x_{1}}}\ldots {\overline {x_{n}}}$, respectivamente. Notemos que a ordem dos elementos em ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ está "invertida" porque o inverso do produto $x_{1}\ldots x_{n}=x_{1}*\cdots *x_{n}$ tem de ser $x_{n}^{-1}*\cdots *x_{1}^{-1}$, e os $x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1}$ serão, respectivamente, os ${\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}}$. A forma de fazemos com que ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ seja o inverso de $x_{1}\ldots x_{n}$ é tomar uma relação de congruência $R$ que identifica $x_{1}\ldots x_{n}{\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ com $1$, e passar $FM(X\cup {\bar {X}})$ ao quociente por esta relação (definindo depois nesse quociente, de forma natural, a operação binária do grupo, $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u*v]_{R}$). Ao passarmos ao quociente, estamos a formalizar a ideia intuitiva de identificar $x_{1}\ldots x_{n}{\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ com $1$, pois no quociente temos a igualdade $[x_{1}\ldots x_{n}{\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}]_{R}=[1]_{R}$. Passemos então à definição formal.

Definição Seja $X$ um conjunto. Tomemos um outro conjunto ${\overline {X}}$ equipotente a $X$ e disjunto de $X$ e seja $f:X\rightarrow {\overline {X}}$ uma aplicação bijectiva.

1. Para cada $x\in X$ denotemos $f(x)$ por ${\bar {x}}$, para cada $x\in {\overline {X}}$ denotemos $f^{-1}(x)$ por ${\bar {x}}$ e para cada $x_{1}\ldots x_{n}\in FM(X\cup {\overline {X}})$ denotemos ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ por ${\overline {x_{1}\ldots x_{n}}}$.
2. Seja $R$ a relação de congruência em $FM(X\cup {\overline {X}})$ gera por $G=\{(u*{\bar {u}},1):u\in X\cup {\overline {X}}\}$, isto é, $R$ é a interseção de todas as relações de congruência em $FM(X\cup {\overline {X}})$ que contêm $G$. Denotamos o conjunto quociente $FM(X\cup {\overline {X}})/R$ por $FG(X)$.

Frequentemente, por abuso de notação, denotamos um elemento $[u]_{R}\in FG(X)$ simplesmente por $u$.

Uma vez que a operação $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u*v]_{R}$ que queremos definir em $FM(X\cup {\bar {X}})/R$ está definida à custa de representantes particulares $u$ e $v$ das classes de equivalência $[u]_{R}$ e $[v]_{R}$, um primeiro cuidado a ter é verificar que a definição não depende dos representantes escolhidos. Trata-se de uma verificação simples.

Lema Seja $X$ um conjunto. Fica bem definida em $FG(X)$ a operação binária $\star$ por $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u_{r}*v_{r}]_{R}$ (onde $R$ é a relação de congruência de definição anterior).

Demonstração Sejam $u,u',v,v'\in FM(X)$ quaisquer tais que $[u]_{R}=[u']_{R}$ e $[v]_{R}=[v']_{R}$, isto é, $uRu'$ e $vRv'$. Por $R$ se relação de congruência em $FM(X\cup {\bar {X}})$, temos $u*vRu'*v'$, isto é, $[u*v]_{R}=[u'*v']_{R}$. $\square$

Visto então que a definição é legítima, apresentamo-la.

Definição Seja $X$ um conjunto. Definimos em $FG(X)$ a operação binária $\star$ por $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u_{r}*v_{r}]_{R}$.

Finalmente, verificamos que o grupo que construímos é efetivamente um grupo.

Proposição Seja $X$ um conjunto. $(FG(X),\star )$ é um grupo com elemento neutro $[1]_{R}$ e onde $\forall [u]_{R}\in FG(X),\,{[u]_{R}}^{-1}=[{\bar {u}}]_{R}$.

Demonstração

1. $(FG(X),\star )$ é associativo porque $\forall [u]_{R},[v]_{R},[w]_{R}\in FG(X),\,([u]_{R}\star [v]_{R})\star [w]_{R}=([u*v]_{R})\star [w]_{R}=[(u*v)*w]_{R}=$ $[u*(v*w)]_{R}=[u]_{R}\star [v*w]_{R}=[u]_{R}\star ([v]_{R}\star [w]_{R}).$
2. Vejamos que $[1]_{R}$ é elemento neutro de $(FG(X),\star )$. Seja $[u]_{R}\in FG(X)$ qualquer. Temos $[u]_{R}\star [1]_{R}=[u*1]_{R}=[u]_{R}$ e, analogamente, $[1]_{R}\star [u]_{R}=[u]_{R}$.
3. Seja $[u]_{R}\in FG(X)$ qualquer e vejamos que $[u]_{R}\star [{\bar {u}}]_{R}=[1]_{R}$. Temos $[u]_{R}\star [{\bar {u}}]_{R}=[u*{\bar {u}}]_{R}$ e, por definição de $R$, $u*{\bar {u}}R1$, isto é, $[u*{\bar {u}}]_{R}=[1]_{R}$, logo $[u]_{R}\star [{\bar {u}}]_{R}=[1]_{R}$ e, analogamente, $[{\bar {u}}]_{R}\star [u]_{R}=[1]_{R}$. $\square$

Analogamente ao que fizemos com o monóide livre, ao grupo mais "livre" gerado pelo conjunto $X$ vamos chamar grupo livre gerado por $X$.

Definição Seja $X$ um conjunto. Ao grupo $(FG(X),\star )$ chamamos grupo livre gerado por $X$.

Exemplo Seja $X=\{x\}$. Escolhamos um qualquer conjunto ${\bar {X}}=\{y\}$ disjunto (e equipotente) de $X$. Seja $f:X\rightarrow {\bar {X}}$ uma (na verdade, a única) aplicação bijectiva de $X$ em ${\bar {X}}$. Então denotamos $f(x)=y$ por ${\bar {x}}$ e denotamos $f^{-1}(y)=x$ por ${\bar {y}}$. Passamos a encarar $x$ e $y$ como elementos inversos. Seja $R$ a relação de congruência de $FM(X\cup {\bar {X}})$ gerada por $G=\{(1,1),(x{\bar {x}},1),(xx{\bar {x}}{\bar {x}},1),\ldots \}$. $FG(X)=FM(\{x,{\bar {x}}\})$ é o conjunto das "palavras" escritas no alfabeto $\{[x]_{R},[{\bar {x}}]_{R}\}$. Por exemplo, $[1]_{R},[x]_{R},[{\bar {x}}]_{R},[xx{\bar {x}}xx]_{R}\in FG(X)$.

Temos $G\subseteq R$ e, por exemplo, $(xx{\bar {x}},1)\in R$, pois de $(x{\bar {x}},1)\in G\subseteq R$ (logo $x{\bar {x}}R1$) e de $R$ ser relação de congruência, vem que podemos "multiplicar" ambos os "membros" da relação $x{\bar {x}}R1$ e obter $xx{\bar {x}}Rx$. Encaramos $x{\bar {x}}R1$ como significando que em $FG(X)$ temos $xx{\bar {x}}=x$ (em rigor, $[xx{\bar {x}}]_{R}=[1]_{R}$), e pensamos nesta igualdade como sendo resultado de um $x$ "anular-se" com ${\bar {x}}$ em $xx{\bar {x}}$.

Dado $u\in FM(X\cup {\bar {X}})$, denotemos o número exato de vezes que a "letra" $x$ ocorre em $u$ por $|u|_{x}$ e denotemos o número exato de vezes que a "letra" ${\bar {x}}$ ocorre em $u$ por $|u|_{\bar {x}}$. Então "cortando" $x$'s com ${\bar {x}}$'s ficamos com uma palavra reduzida com $|u|_{x}-|u|_{\bar {x}}$ vezes a letra $x$ (se $|u|_{x}-|u|_{\bar {x}}<0$, entendamos que não há letras $x$ e fica $-(|u|_{x}-|u|_{\bar {x}})$ vezes a letra ${\bar {x}}$). Denotemos este número $|u|_{x}-|u|_{\bar {x}}$ por $|u|_{x-{\bar {x}}}$. Temos

1. $[u]_{R}=[v]_{R}$ se e só se $|u|_{x-{\bar {x}}}=|v|_{x-{\bar {x}}}$ e
2. $\forall [u]_{R},[v]_{R}\in FG(X),\,|uv|_{x-{\bar {x}}}=|u|_{x-{\bar {x}}}+|v|_{x-{\bar {x}}}$.

Assim, cada elemento $[u]_{R}\in FG(X)$ fica determinado pelo número inteiro $|u|_{x-{\bar {x}}}$ e o produto $\star$ de dois elementos $[u]_{R},[v]_{R}\in FG(X)$ corresponde à soma dos seus inteiros associados $|u|_{x-{\bar {x}}}$ e $|v|_{x-{\bar {x}}}$. Assim, parece que o grupo $(FG(X),\star )$ é "semelhante" a $(\mathbb {Z} ,+)$. Com efeito $(FG(X),\star )$ é isomorfo a $(\mathbb {Z} ,+)$ e a aplicação $|\cdot |_{x-{\bar {x}}}:FG(X)\rightarrow \mathbb {Z}$ é um isomorfismo de grupos.

Apresentação de um grupo

Informalmente, parece que $\mathbb {Z} _{n}$ é obtido do grupo "livre" $\mathbb {Z}$ impondo a relação $nx=1$. Vamos tentar formalizar esta ideia. Partimos de um conjunto $X$ que gera um grupo $G$ que queremos criar e de um conjunto de relações $R$ (tais como $x^{n}=1$ ou $xy=yz$) que os elementos de $G$ devem verificar e obtemos o grupo $G/R$ gerado por $G$ e que verifica as relações $R$. Mais precisamente, escrevemos cada relação $u=v$ na forma $uv^{-1}=1$ (por exemplo, $xy=yx$ escreve-se na forma $xyx^{-1}y^{-1}=1$) e encaramos $uv^{-1}$ como uma "palavra" de $FG(X)$. Como $R$ não tem necessariamente de ser um subgrupo normal de $G$, não podemos considerar o quociente $FG(X)/R$, pelo que consideramos o quociente $FG(X)/R$ onde $N$ é o subgrupo normal de $FG(X)$ gerado por $R$. Em $G/N$, vamos ter $uv^{-1}N=1N$, o que encaramos como significando que em $G/N$ os elementos $uv^{-1}$ e $1$ são o mesmo. Assim, $FG(X)/N$ vai verificar todas as relações que queremos e vai ser gerado por $X$ (mais precisamente, por $\{xN:x\in X\}$). Formalizamos de seguida esta ideia.

Definição Seja $G$ um grupo. Chamamos apresentação de $G$, e denotamos por $<X:R>$, a um par ordenado $(X,R)$ onde $X$ é um conjunto, $R\subseteq FG(X)$ e $G\simeq FG(X)/N$, onde $N$ é o subgrupo normal de $FG(X)$ gerado por $R$. Numa apresentação $<X:R>$, a $X$ chamamos conjunto gerador e a $R$ chamamos conjunto das relações.

Vejamos exemplos de apresentações do grupo livre $FG(X)$ e dos grupos $\mathbb {Z} _{n}$, $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$, $\mathbb {Z} _{m}\oplus \mathbb {Z} _{n}$ e $S_{3}$. Aproveitamos também os exemplos para expor alguma notação usual e mostrar que a apresentação de um grupo não tem de ser única.

Exemplos

1. Seja $X$ um conjunto. $<X:{\emptyset }>$ é uma apresentação de $FG(X)$ porque $FG(X)\simeq FG(X)/\{1\}$, onde $\{1\}$ é o subgrupo normal de $FG(X)$ gerado por $\emptyset$. Em particular, $<\{x\}:\emptyset >$ é uma apresentação de $(\mathbb {Z} ,+)\simeq FG(\{x\})$, mais usualmente denotada por $<x:\emptyset >$. Outra apresentação de $(\mathbb {Z} ,+)$ é $<\{x,y\}:\{xy^{-1}\}>$, mais usualmente denotada por $<x,y:xy^{-1}>$. Informalmente, na apresentação $<x,y:xy^{-1}>$ introduzimos um novo elemento $y$ no conjunto gerador, mas depois impomos a relação $xy^{-1}=1$, isto é, $x=y$, o que na prática é o mesmo que nem ter introduzido $y$ e ter ficado pela apresentação $<x:\emptyset >$.
2. Seja $X=\{x\}$. $<X:\{x^{n}\}>$ (onde $x^{n}=x\star \cdots \star x\in FG(X)$ $n$ vezes) é uma apresentação de $\mathbb {Z} _{n}$. Com efeito, o subgrupo de $FG(X)$ gerado por $\{x^{n}\}$ é $N=\{\ldots ,{\bar {x}}^{2n},{\bar {x}}^{n},1,x^{n},x^{2n},\ldots \}\simeq n\mathbb {Z}$ e $FG(X)\simeq \mathbb {Z}$, logo $\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \simeq FG(X)/N$. É mais usual denotar $<\{x\}:\{x^{n}\}>$ por $<x:x^{n}>$.
3. Sejam $X=\{x,y\}$ (com $x$ e $y$ distintos) e $R=\{xyx^{-1}y^{-1}\}$. $<X:R>$ é uma apresentação de $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$. Informalmente, o que fazemos é impor em $FG(X)$ que haja comutatividade, isto é, $xy=yx$, ou seja, $xyx^{-1}y^{-1}=1$, obtendo um grupo isomorfo a $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$. É mais usual denotar $<\{x,y\}:\{xyx^{-1}y^{-1}\}>$ por $<x,y:xyx^{-1}y^{-1}>$.
4. Sejam $X=\{x,y\}$ e $R=\{xyx^{-1}y^{-1},x^{m},y^{n}\}$. $<X,R>$ é uma apresentação de $\mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}$. Informalmente, o que fazemos é impor a comutatividade da mesma forma que no exemplo anterior, e impomos ainda $x^{m}=1$ e $x^{n}=1$ para obtermos $\mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}$ em vez de $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$. É mais usual denotar $<\{x,y\}:\{xyx^{-1}y^{-1},x^{m},y^{n}\}>$ por $<x,y:xyx^{-1}y^{-1},x^{m},y^{n}>$.
5. $<\{a,b,c\}:\{aa,bb,cc,abac,cbab\}>$, mais usualmente escrito $<a,b,c:a^{2},b^{2},c^{2},abac,cbab>$, é uma apresentação de $S_{3}$, o grupo das permutações de $\{1,2,3\}$ com a composição de aplicações. Para verificar isto, podemos verificar que qualquer grupo com apresentação $<a,b,c:a^{2},b^{2},c^{2},abac,cbab>$ tem exatamente seis elementos $id$, $a$, $b$, $c$, $a$, $ab$ e $ac$, e que a multiplicação destes elementos resulta na seguinte tabela de Cayley que é igual à tabela de Cayley de $S_{3}$. Apenas para dar uma ideia de como o podemos fazer, um grupo com apresentação $<a,b,c:a^{2},b^{2},c^{2},abac,cbab>$ tem exatamente os elementos $id$, $a$, $b$, $c$, $a$, $ab$ e $ac$ porque nenhuns destes elementos são iguais (as relações $a^{2}=b^{2}=c^{2}=abac=cbab=1$ não permitem concluir que dois destes elementos são iguais) e porque "outros" elementos como $bc$ são na realidade alguns dos elementos anteriores (por exemplo, de $cbab=id$ temos $cb=ab$, e tomando inversos de ambos os membros, temos $b^{-1}c^{-1}=b^{-1}a^{-1}$, que, usando $a^{2}=b^{2}=c^{2}=id$, isto é, $a=a^{-1}$, $b=b^{-1}$ e $c=c^{-1}$, resulta em $bc=ba$). Então, usando as relações da apresentação, podemos calcular a tabela de Cayley. Por exemplo, $a(ab)=b$ porque temos a relação $a^{2}=1$. Outro exemplo: temos $b(ac)=a$ porque podemos multiplicar ambos os membros da relação $abac=id$ por $a$ e então usar $a^{2}=id$. Podíamos ter suspeitado desta representação tomando $a=(1\ 2)$, $b=(1\ 3)$ e $c=(2\ 3)$ e depois, tentando construir a tabela de Cayley de $S_{3}$, descoberto que tal era possível se soubéssemos que $a^{2}=b^{2}=c^{2}=abac=cbab=1$.

$\times$	$id$	$a$	$b$	$c$	$ab$	$ac$
$id$	$id$	$a$	$b$	$c$	$ab$	$ac$
$a$	$a$	$id$	$ab$	$ac$	$b$	$c$
$b$	$b$	$ac$	$id$	$ab$	$c$	$a$
$c$	$c$	$ab$	$ac$	$id$	$a$	$b$
$ab$	$ab$	$c$	$a$	$b$	$ac$	$id$
$ac$	$ac$	$b$	$c$	$a$	$id$	$ab$

É natural perguntar se todo o grupo tem uma apresentação. O teorema seguinte diz-nos que sim, e dá-nos até uma apresentação.

Teorema Sejam $(G,\times )$ um grupo.

1. A aplicação $\varphi :FG(G)\rightarrow G$ definida por $\varphi ([x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{n}]_{R})=x_{1}\times \cdots \times x_{n}$ (onde $x_{1},\ldots ,x_{n}\in G$) é um epimorfismo de grupos.
2. $<G:{\textrm {ker}}\,\varphi >$ é uma apresentação de $(G,\times )$.

Demonstração

1. $\varphi$ está bem definida porque todo o elemento de $FG(X)$ tem uma representação única na forma $[x_{n}]\star \cdots [x_{n}]_{R}$ com $x_{1},\ldots ,x_{n}\in G$, a menos de $[1]_{R}$ surgir várias vezes na representação, o que não afeta o valor de $x_{1}\times \cdots \times x_{n}$. Sejam $[x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{m}]_{R},[y_{1}]_{R}\star \cdots \star [y_{n}]_{R}\in FG(X)$ quaisquer, onde $x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}\in G$. Temos $\varphi (([x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{m}]_{R})\star ([y_{1}]\star \cdots \star [y_{n}]_{R}))=(x_{1}\times \cdots \times x_{m})\times (y_{1}\times \cdots \times y_{n})=$ $\varphi ([x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{m}]_{R})\times \varphi ([y_{1}]_{R}\star \cdots \star [y_{n}]_{R})$, logo $\varphi$ é morfismo de grupos. Como $\forall x\in G,\,\varphi ([x]_{R})=x$, então $G$ é epimorfismo de grupos.
2. Pelo primeiro teorema do isomorfismo (para grupos), temos $FG(G)/{\textrm {ker}}\,\varphi \simeq \varphi (G)=G$, logo $<G:{\textrm {ker}}\,\varphi >$ é uma apresentação de $(G,\times )$. $\square$

O teorema anterior, embora dê uma apresentação do grupo $G$, não nos dá uma "boa" apresentação, pois o conjunto gerador $G$ é usualmente bastante maior do que outros conjuntos geradores, e o conjunto das relações $\mathrm {ker} \,\varphi$ é também usualmente bastante maior do que outros conjuntos de relações suficientes (é até um subgrupo normal de $FG(G)$, quando bastava que gerasse um subgrupo normal apropriado).