Utilizador:Mira Salgado/Rascunho

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Modelos de atribuição de clientes envolvendo pontos fixos de abastecimento

O modelo de atribuição de clientes mais simples é aquele que envolve atribuição para pontos fixos de abastecimento. Neste modelo as localizações dos pontos de abastecimento são dados, e um terá que decidir quais pontos de encomenda devem ser atribuidos para certos pontos de abastecimento. A figura X ilustra este processo de atribuição para 4 pontos de abastecimento (fechados em caixas) e 10 pontos de encomenda fechados em círculos. Bastantes pressupostos importantes acompanham o modelo retratado na apresentação. Primeiro, assumiu-se que são permitidas múltiplas fontes. Isto ocorre quando os requisitos de um ponto de encomenda em particular são satisfeitos por mais de um ponto de abastecimento. Segundo, sem um desenvolver explícitamente as rotas dos veículos, deve-se assumir que alguma matriz dos custos de atribuição é fornecida ou que tais custos são proporcionais à distância directa entre ponto de abastecimento e ponto de encomenda.

O modelo de atribuição de clientes para pontos fixos de abastecimento é o mais simples. Compete a este tipo de modelo decidir quais os pontos de encomenda a atribuir para determinados postos de abastecimento, dadas as localizações dos mesmos. A figura X ilustra o processo de atribuição descrito para 10 pontos de encomenda (fechados em círculos) e 4 pontos de abastecimento (fechados em caixas). Existem alguns pressupostos a ter em consideração no que diz respeito ao modelo retratado na apresentação. Primeiro, assumiu-se que é permitida mais do que uma fonte - tal verifica-se quando mais do que um posto de abastecimento satisfaz os requisitos de um ponto de encomenda específico. Segundo, assumiu-se que é fornecida uma matriz com os custos de atribuição ou que esses custos são directamente proporcionais à distância entre o ponto de encomenda e o ponto de abastecimento, quando não forem explicitamente desenvolvidas as rotas.

Com os pressupostos anteriores, pode ser desenvolvida uma formulação matemática para o modelo de atribuição do ponto fixo de abastecimento como se segue: seja cij o custo de atribuição por unidade de um pedido de encomenda do ponto j para abastecer o ponto i. Seja xiy a quantidade de encomenda pedida pelo ponto j atribuido para abastecer o ponto i. Finalmente, seja ai a disponibilidade do ponto de abastecimento e bj o requisito do ponto de encomenda. Então o modelo torna-se:

equaçao (1)

tais que

equaçao (2) e (3) e (4)

Uma formulação matemática pode então ser desenvolvida, dados os pressupostos anteriores, para o modelo de atribuição envolvendo pontos fixos de abastecimento: Seja $x_{i}j$ a quantidade de encomenda destinada a abastecer o ponto $i$ , através do ponto $j$ , e $c_{i}j$ o custo de atribuição por unidade de encomenda. E seja $a_{i}$ a disponibilidade do ponto de abastecimento e $bj$ a exigência do ponto de encomenda. Teremos então o seguinte modelo:

minimizar

\sum _{i}\sum _{j}c_{ij}x_{ij}\,\,

(minimizar o custo de atribuição)

(1)

tais que

\sum _{j}x_{ij}\leq a_{i}\,\,

(restrições de disponibilidade do ponto de abastecimento)

(2)

\sum _{i}x_{ij}=b_{j}\,\,

(requisitos do ponto de encomenda)

(3)

x_{ij}\geq 0

(4)

Este é um exemplo do modelo de transporte clássico. A solução para este modelo é muito provável que resulte em múltiplas fontes. Pode ser utilizado o procedimento eficiente de transporte para determinar a melhor atribuição. Podem também ser incluídas restrições em quantidades de abastecimento mais baixas utilizadas em qualquer ponto de abastecimento através de métodos de fluxo de rede.

De seguida, supondo que é necessário uma única fonte. Então para o modelo anterior adiciona-se a restrição adicional

(5)

A solução para o modelo exemplificado (modelo de transporte clássico) resulta provavelmente em múltiplas fontes. Para determinar a melhor atribuição pode-se recorrer ao procedimento eficiente de transporte. É também possível, através de métodos de fluxo de rede, incluir restrições em quantidades de abastecimento mais baixas, em qualquer ponto de abastecimento.

Suponha-se então que é necessária uma única fonte. Adicionando a restrição adicional ao modelo anterior

x_{ij}=0\,\,\,or\,\,\,b_{j}

(5)

que transforma o modelo de programação linear num modelo de programação inteiro. Esta é uma variante do "problema geral de atribuição". Neste caso, devemos provavelmente combinar uma técnica de branch-and-bound com o algoritmo clássico de transporte para alcançar a atribuição desejada. A figura Y ilustra uma solução única de abastecimento. Como mostrado na figura, aumentos significativos nos custos de distribuição podem resultar de restrições adicionais. Infelizmente, em muitas circunstâncias uma única fonte de abastecimento é de facto um requisito real, normalmente como resultado de considerações do cliente.

o modelo de programação linear é transformado num modelo de programação inteiro, sendo esta uma variante do "problema geral de atribuição". Para alcançar a atribuição desejada, neste caso, provavelmente ter-se-á de combinar com o algoritmo clássico de transporte uma técnica de "branch-and-bound". Na figura Y onde se encontra ilustrada uma solução única de abastecimento, verifica-se que restrições adicionais podem originar aumentos significativos nos custos de distribuição. Em muitas circunstâncias uma única fonte de abastecimento é um requisito real, habitualmente devido a considerações do cliente.

Existirão frequentemente situações de fornecimento escasso ou rupturas de stock, que tornam a suposição de fonte única inválida. Para antecipar e medir os efeitos de tais situações, poderia ser empregue o modelo de transporte como um modelo de optimização "first-cut", e então um modelo de simulação poderia ser executado para determinar os efeitos de ficar sem stock, e por aí diante.

Frequentemente existem situações que tornam o pressuposto de fonte única inválido, tais como rupturas de stock ou fornecimento escasso. Para acautelar estas situações, antecipando e medindo os seus efeitos, o modelo de transporte poderia ser empregue como um modelo de optimização "first-cut", podendo um modelo de simulação ser executado para determinar os efeitos de ficar sem stock. e por aí diante.

Modelos de distribuição de múltiplos níveis envolvendo instalações fixas

Os sistemas de distribuição mais frequentemente envolvem múltiplos níveis de transferência de mercadorias. Mercadorias são enviadas a partir de pontos de abastecimento de transferência ou pontos de distribuição, a partir do qual eles estão dispersos em locais de pontos individuais de encomenda. Pode ser explicado o nível adicional no processo de modelagem em uma das várias maneiras, dependendo dos pressupostos específicos envolvidos.

Habitualmente, os sistemas de distribuição implicam múltiplos níveis de transferência de mercadorias. Mercadorias são enviadas a partir de pontos de distribuição ou de pontos de abastecimento para transferência, a partir dos quais eles são divididos para locais de pontos individuais de encomenda. Dependendo dos pressupostos especificamente envolvidos, o nível adicional no processo de modelagem pode ser explicado de várias maneiras.

Se é assumido que há um conjunto de custos associados ao transporte dos postos de abastecimento aos pontos de distribuição e um conjunto separado de custos a partir de pontos de distribuição para os pontos de encomenda, pode-se então desenvolver o seguinte modelo:

(6)

tal que

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

onde

sik = ponto de abastecimento - custo do ponto de distribuição (e xik o seu fluxo associado) dkj = ponto de distribuição - custo do ponto de encomenda (e ykj o seu fluxo associado) fk = capacidade do ponto de distribuição

Assumindo a existência de um conjunto de custos separado desde os pontos de distribuição até aos pontos de encomenda, e de um conjunto de custos associado ao transporte dos postos de abastecimento aos pontos de distribuição, pode então ser desenvolvido o seguinte modelo:

minimizar

\sum _{i}\sum _{k}s_{ik}x_{ik}\,+\,\sum _{k}\sum _{j}d_{ik}y_{ik}

(6)

tais que

\sum _{k}x_{ik}\,\leq \,a_{j}

(disponibilidade do ponto de abastecimento)

(7)

\sum _{i}x_{ik}\,-\,\sum _{j}y_{kj}\,=\,0

(balanço de fluxo nos pontos de distribuição)

(8)

\sum _{k}x_{ik}\,\leq \,f_{k}

(capacidade do ponto de distribuição)

(9)

\sum _{k}y_{kj}\,=\,b_{j}

(requisitos do ponto de encomenda)

(10)

x_{ik}\geq \,0,\,\,\,\,\,y_{kj}\,\geq \,0

(11)

onde

$s_{ik}$ = ponto de abastecimento - custo do ponto de distribuição (e $x_{ik}$ o seu fluxo associado)

$d_{kj}$ = ponto de distribuição - custo do ponto de encomenda (e $y_{kj}$ o seu fluxo associado)

$s_{k}$ = capacidade do ponto de distribuição

O modelo anterior é diretamente solucionável por simples e eficientes métodos de fluxo rede. Através da incorporação de outras considerações, podem-se gerar modelos mais complexos. Por exemplo, suponha que assumimos que o custo do transporte é uma função de todo o percurso pelo qual o item será entregue. Além disso, suponhamos fontes múltiplas são permitidas. Neste caso, podemos desenvolver uma extensão "straight-forward" para o modelo definido pelas equações 1 a 4 pela adição de um subscrito extra para a variável de atribuição.

Este modelo é resolvido por simples e eficientes métodos de fluxo de rede. Modelos mais complexos podem ser criados através de outras considerações. Supondo, por exemplo, que múltiplas fontes são permitidas e que o custo de transporte é uma função de todo o percurso relativo à entrega do item. Pode então, pela adição de um subscrito extra na variável de atribuição, ser desenvolvida uma extensão "straigh-forward" para o modelo definido pelas equações (1) a (4).

Especificamente, considere xijk a quantidade de necessidade do ponto de procura j, originada no ponto de fornecimento i e passando pelo ponto de distribuição k. Considere cijk o custo de distribuição associado e a capacidade de transferência no ponto. Então o modelo torna-se:

minimizar

\sum _{i}\sum _{j}\sum _{k}\,c_{ijk}\,x_{ijk}

(12)

tal que

\sum _{j}\sum _{k}x_{ik}\,\leq \,a_{i}

(disponibilidade do ponto de abastecimento)

(13)

\sum _{i}\sum _{j}x_{ik}\,\leq \,f_{k}

(capacidade do ponto de distribuição)

(14)

\sum _{i}\sum _{k}y_{kj}\,=\,b_{j}

(requisitos do ponto de encomenda)

(15)

x_{ijk}\geq \,0

(16)

Este modelo não pode ser tratado por técnicas de fluxo de rede simples. No entanto, podemos empregar os métodos de programação linear, provavelmente utilizando criação de colunas para manter o seu tamanho. A figura Z ilustra uma solução possível para um sistema de distribuição de múltiplos níveis, com cinco pontos intermédios de distribuição.

Quando restrições de fonte única de abastecimento são exigidas, o modelo torna-se de programação inteira mista. Nesse caso, teríamos provavelmente de optar por um procedimento de enumeração. Os clientes são inicialmente atribuídos aos pontos de distribuição. Então um simples problema de transporte é resolvido para os pontos de abastecimento e pontos de distribuição, com as exigências da procura no ponto atribuídas aos pontos de distribuição adequados.

Até agora todos os modelos têm sido discutidos no âmbito da distribuição de um único produto. Quando múltiplas mercadorias estão envolvidas, os modelos tornam-se cada vez mais complexos. Na maioria dos casos os modelos podem ser actualizados através da adição de outro índice (por tipo de mercadoria) na variável de atribuição (fluxo) e seus custos associados. No entanto, isso geralmente significa que as técnicas de solução eficiente já não são aplicáveis, e normalmente recorre-se a programação linear com criação de colunas.

Considerando $x_{ijk}$ a procura no ponto j, com o ponto de fornecimento i, passando pelo ponto de distribuição k, e ainda $c_{ijk}$ o custo de distribuição associado e a capacidade de transferência, ter-se-á o seguinte modelo:

minimizar

\sum _{i}\sum _{j}\sum _{k}\,c_{ijk}\,x_{ijk}

(12)

tal que

\sum _{j}\sum _{k}x_{ik}\,\leq \,a_{i}

(disponibilidade do ponto de abastecimento)

(13)

\sum _{i}\sum _{j}x_{ik}\,\leq \,f_{k}

(capacidade do ponto de distribuição)

(14)

\sum _{i}\sum _{k}y_{kj}\,=\,b_{j}

(requisitos do ponto de encomenda)

(15)

x_{ijk}\geq \,0

(16)

Apesar de não ser possível tratar este modelo através de técnicas de fluxo de rede simples, é possível recorrer a métodos de programação linear, provavelmente utilizando criação de colunas de modo a manter o seu tamanho. (...)