Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Cap1/Sec2

2.1Editar

  tal que  .

ResoluçãoEditar

  • Tome   um funcional linear arbitrário. Sabemos que de   têm-se que   tal que  ; Definimos  , assim A=y e portanto  .

2.2Editar

Um conjunto   diz-se ortonormal quando   quaisquer. Todo conjunto ortonormal é parte de um base ortonormal. Se   é uma base ortonormal então  .

ResoluçãoEditar

  • Seja  , um conjunto ortonormal contido num espaço vetorial. Devemos mostrar que  , onde   é uma base de W.
  • Seja  , onde n = dim W. Desses dois conjuntos vemos claramente o que queremos, onde os vetores que faltam a  , podem ser determinados pelo processo de Gram-Schimidt.
  • Tomando K = {o conjunto das combinações lineares dos elementos de   } =  . Como  . Logo K é subespaço de W.
  • Seja  .
  • Quando v = 0,  , isso implica que   é linearmente independente.
  • Tome   onde   são as coordenadas de w em relação à base  .
  •  . Logo  

2.3Editar

Considere em   a norma euclidiana. Dada uma aplicação linear  , existe uma única aplicação linear  , chamada a adjunta de A, tal que  . Dado  , a equação  , possui solução   se, e somente se, b é ortogonal a todo elemento do núcleo de  . Conclua que a imagem de   e a imagem de A têm a mesma dimensão.

ResoluçãoEditar

  • Vamos verificar que  .
    • Seja   e  . Então   é um funcional linear sobre  . Pelo exercício 2.1 acima   tal que  . Indiquemos  , assim temos que  .
  • Vamos verificar que   é linear:
    •    
  • unicidade de  .
    • Para   arbitrário, o vetor   é determinado de modo único como sendo o vetor z tal que  
  • Dado  , a equação  , possui solução   b é ortogonal a todo elemento do núcleo de  .
    • Tome  , onde  . Tome   tal  
  • Dado b é ortogonal a todo elemento do núcleo de  , a equação  , possui solução  .
    • Tome  
  • A imagem de   e a imagem de A têm a mesma dimensão.
    • Como b é ortogonal aos vetores   logo  , mas  , portanto  

2.4Editar

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2.5Editar

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2.6Editar

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2.7Editar

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2.8Editar

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2.9Editar

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2.10Editar

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2.11Editar

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2.12Editar

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2.13Editar

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2.14Editar

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2.15Editar

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2.16Editar

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