Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Cap2/Sec1

1Editar

Seja   um caminho diferenciável. Se   é um ponto de acumulação do conjunto  , para algum  , então  .

ProvaEditar

  • A existência de   se deve por   ser um caminho diferenciável.
  •  . Assim, dizer que a é um ponto de acumulação de   significa que  .
  •  .
    • Como   e   existe e  .
  • Portanto  .

2Editar

Seja   um caminho diferenciável com   para algum  . Se existem uma reta   e uma sequência de números distintos   tais que   então   é a reta tangente a   no ponto  .

ProvaEditar

  • Como   é um caminho diferenciável então existe   e como  , existe uma reta  .
  • Devemos provar que  , isto é, que   é o coeficiente angular da reta L.
    • Como   é contínua então dado  . Como  . Segue de   ser contínua que  . Logo  .
    • Como   é uma reta, todo ponto aderente pertencerá a ela. Contudo   e  .
    •   é um ponto de acumulação da reta  , assim o coeficiente angular da reta   é dada sobre  , ou seja,   é o coeficiente angular da reta  

3Editar

Seja   um caminho diferenciável. Dados  , afim de que   pertença, para todo  , à esfera de centro   e raio  , é necessário e suficiente que isto ocorra para um valor   e que o vetor velocidade   seja perpendicular a  .

Prova que é necessárioEditar

Por hipótese temos que   pertence, para todo  , à esfera de centro   e raio  , queremos mostrar que isto ocorre para um valor   e que o vetor velocidade   seja perpendicular a  .

  • Seja a Esfera de centro   e raio  :  .
    • Se  , logo  
  • Para que o vetor velocidade   seja perpendicular a  , é necessário que  .
    • Temos que   é constante.
      •  . Mas  .

Prova que é suficienteEditar

  • Por hipótese temos que   pertença à esfera de centro   e raio  .
    • Logo  .
  • Por hipótese temos que o vetor velocidade   seja perpendicular a  
    • Logo  , onde  

Devemos mostrar que  , isto é,  .

  • Pelo último resultado  .
    • Assim a primitiva é  
    • Como  . Logo k = r e está provado!

4Editar

Seja   um caminho fechado diferenciável. Mostre que existe algum   tal que  

  • fechado aqui significa   com  

ProvaEditar

  • Como   é um caminho fechado diferenciável, então  .
    • Fixemos  .
  • Seja  . O domínio de   é fechado e a função é contínua, logo pelo teorema de Weirstrass  .
  • x
  • x
  • x
  •  , derivando os dois últimos membros, teremos
    •  


 

14Editar

Seja   um caminho contínuo que possui em cada ponto de (a,b) um vetor velocidade à direita. Se   é contínuo, prove que f é de classe  .

ProvaEditar

  • Para que f seja de classe   Devemos mostrar que   é contínuo em (a,b). Para que   seja contínuo em (a,b), deve-se ter que   e   sejam contínuos em (a,b). Como   é contínuo em (a,b), então nos resta provar que   é contínuo em (a,b).
    • Seja   onde    
    • Seja   onde    
    • Por ser   contínuo em (a,b), logo   são contínuas em (a,b).  , tal que  .

15Editar

Seja   o gráfico da função  .

  • Mostre que existe um caminho  , de classe  , tal que   e  .
  • Prove que todo caminho diferenciável f nessas condições cumpre  

ProvaEditar

  • Devemos mostrar que exist uma função f, nas condições acima.
    • Seja  , onde  .
    • Assim  , onde   e  , onde  
    • Seja  , onde  .
    • Então   .
    • f é de classe  .  .  .
    • Devemos mostrar que  .
    •    

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