Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Chap1/Sec1

Prove que  

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  • Devemos mostrar primeiro que  
    • Seja  
    • Suponha ser verdade que  
    • Tome  
  •  

Quando é que vale a igualdade em  . Reexamine a prova, a resposta não é "quando x e y são linearmente dependentes".

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  • Verificar quando é válido que  .
    • Tome  

Prove que  . Quando a igualdade mantem?

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  • Verificar que  .
    • Tome    
  • Verificar quando é válido que  .
    • Tome   

 

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  •  .
  •  .

A quantidade   é chamada a distancia entre x e y. Prove e interprete geometricamente a "inequação triangular":  

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  •  

Seja f e g integráveis sobre [a,b]

  • Prove que  . Dica: Considere separadamente os casos   para algum   e  .
  • Se a igualdade mantem, deve   para algum  ? Quais de f,g são continuos?
  • Mostre que o teorema 1-1(2) é um caso especial de (a).

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Uma transformação linear   preserva a norma se  , e preserva o produto interno se  .

  • Prove que T preserva a norma se, e somente, se T preserva o produto interno.
  • Prove que uma tal transformação linear T é injetiva e a   é da mesma maneira.

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  • Se T preserva a norma, então T preserva o produto interno.
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  .
    • Como T preserva a norma,  . Então  
    •  
  • Se T preserva o produto interno, então T preserva a norma.
    •  
    •  .
    •  
  • T é injetiva
    • Seja  , tal que  , por ser T linear.
    • Mas  
  •   é linear
    • Seja  
  •   preserva a norma.
    • Seja  
  •   é injetiva
    • Seja  , tal que  , por ser   linear.
    • Mas  

Se   são não-nulos, o ângulo entre x e y, denotado por   é definido como   o que faz sentido pelo teorema  . A transformação linear T preserva o ângulo se T é injetiva e para   tivermos  .

  • Prove que se T preserva a norma, então T preserva o ângulo.
  • Se existe uma base   de   e números   tal que  , prove que T preserva o ângulo se, e somente se, todos os   são iguais.
  • Quais todos os   que preservam o ângulo?

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  • Mostrar que T preserva o ângulo: T preserva a norma, logo preserva o produto interno, isto é,  .
    • Assim  .
    • No exercício anterior provamos que toda T linear é injetiva.
  • T preserva o ângulo. Mostrar que   são iguais para  
    • Seja  .
    • Mas T preserva o ângulo, então  .
    •  
    •  . Tome  . Logo
    •  .

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