Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Conjuntos Finitos, Enumeráveis e não-enumeráveis/17-24

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Seja   uma função. Um subconjunto   chama-se estável relativamente a f quando  . Prove que um conjunto X é finito se, e somente, se existe uma função   que só admite os subconjuntos estáveis  

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  • Vamos tomar por hipótese que existe uma função   que só admite os subconjuntos estáveis   Um contra-exemplo é  , todos os subconjuntos de X são estáveis, assim não é qualquer função que admite somente os subconjuntos estáveis   Assim essa f única deve ser uma sequência de forma que   e que quando tirarmos um elemento do domínio, temos que tirar também um elemento da imagem, esse elemento por sua vez deve ser tirado do domínio e assim por diante, sobrando apenas o conjunto vazio. Logo, seja  , onde em um certo momento deve voltar a x_1, assim X deve ser finito.
    • Se X fosse infinito, não existiria um momento que voltaria para  . Se

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Seja   uma função injetiva tal que  . Tomando  , prove que os elementos   são dois a dois distintos.

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19Editar

Sejam X um conjunto infinito e Y um conjunto finito. Mostre que existe uma função sobrejetiva   e uma função injetiva  .

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20Editar

20aEditar

Se X é finito e Y enumerável, então   é enumerável.

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20bEditar

Para cada função   seja  . Prove que o conjunto X das funções   tais que   é finito é um conjunto enumerável.

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