Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Conjuntos e Funções/1-8

1

Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:

• $A\subset X$ e $B\subset X$
• Se $A\subset Y$ e $B\subset Y$ então $X\subset Y$

Prove que $X=A\cup B$

Resolução:

Vamos provar que $X\subset A\cup B$

• Pela prop 2 $A,B\subset A\cup B\Rightarrow X\subset A\cup B$.

Vamos provar que $A\cup B\subset X$

• Tome $a\in A\cup B\Rightarrow a\in A\;ou\;a\in B\Rightarrow a\in X$ pela prop 1.

2

Enuncie e demonstre um resultado análogo ao anterior, caracterizando $A\cap B$: Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:

1. $A\supset X$ e $B\supset X$
2. Se $A,B\supset Y$ então $X\supset Y$

Prove que $X=A\cap B$.

Resolução:

Vamos provar que $X\supset A\cap B$

• Pela prop 2 $A,B\supset A\cap B\Rightarrow X\supset A\cap B$.

Vamos provar que $A\cap B\supset X$

• Tome $a\in X\Rightarrow a\in A\;e\;a\in B{\mbox{ pela prop 1}}\Rightarrow a\in A\cap B$.

3

3a

Sejam $A,B\subset E$. Prove que $A\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset E-B$.

Resolução

• Tome $a\in A,{\mbox{ como }}A\cap B=\varnothing {\mbox{ e }}A,B\subset E\Rightarrow a\in E{\mbox{ e }}a\not \in B\Rightarrow a\in E-B\Rightarrow A\subset E-B$.
• Tome $a\in A{\mbox{ como }}A\subset E-B\Rightarrow a\not \in B\Rightarrow A\cap B=\varnothing$.

3b

Sejam $A,B\subset E$. Prove que $A\cup B=E\Leftrightarrow E-A\subset B$

Resolução

• $a\in E-A\Rightarrow a\in E{\mbox{ e }}a\not \in A,{\mbox{ como }}E=A\cup B\Rightarrow a\in B\Rightarrow E-A\subset B$.
• Tome $a\in A\cup B\Rightarrow a\in A{\mbox{ ou }}a\in B,{\mbox{ como }}E-A\subset B({\mbox{ ou seja}},a\in E{\mbox{ e }}a\not \in A,{\mbox{ logo }}a\in B)\Rightarrow a\in E\Rightarrow A\cup B\subset E$.
• Tome $a\in A{\mbox{ ou }}a\not \in A{\mbox{ como }}E-A\subset B({\mbox{ ou seja}},a\in E{\mbox{ e }}a\not \in A,{\mbox{ logo }}a\in B)\Rightarrow a\in A{\mbox{ ou }}a\in B\Rightarrow a\in A\cup B\Rightarrow$$\Rightarrow E\subset A\cup B$.
• Dos dois anteriores temos que $A\cup B=E$

4

Dados $A,B\subset E$, prove que $A\subset B\Leftrightarrow A\cap E-B=\varnothing$.

Resolução

• $A\cap \complement B=\{a\in A,a\not \in B\}=A-B,{\mbox{ mas }}A\subset B({\mbox{ ou seja}},a\in A\Rightarrow a\in B)\Rightarrow A\cap \complement B=\varnothing$
• Tome $a\in A,{\mbox{ como }}A\cap \complement B=\varnothing \Rightarrow a\not \in \complement B\Rightarrow a\in B\Rightarrow A\subset B$

5

Dê exemplos dos conjuntos A,B,C tais que $(A\cup B)\cap C\neq A\cup (B\cap C)$.

Resolução

Sejam $A=2\mathbb {N} ,B=4\mathbb {N} ,C=8\mathbb {N}$;

• $A\cup B=2\mathbb {N} \cup 4\mathbb {N} =2\mathbb {N} =A$; $A\cap C=2\mathbb {N} \cap 8\mathbb {N} =8\mathbb {N} =C$
• $B\cap C=4\mathbb {N} \cap 8\mathbb {N} =8\mathbb {N} =C$; $A\cup C=2\mathbb {N} \cup 8\mathbb {N} =2\mathbb {N} =A$

Mas $A\neq C$

6

Se $A,X\subset E$ são tais que $A\cap X=\varnothing {\mbox{ e }}A\cup X=E$, prove que $X=E-A$.

Resolução

• Tome $a\in X\subset E{\mbox{ como }}A\cap X=\varnothing (a\in X\Rightarrow a\not \in A)\Rightarrow a\in E{\mbox{ e }}a\not \in A\Rightarrow a\in E-A\Rightarrow X\subset E-A$
• Tome $a\in E-A\Rightarrow a\in E{\mbox{ e }}a\not \in A,{\mbox{ como }}E=A\cup X\Rightarrow (a\in A{\mbox{ ou }}a\in X){\mbox{ e }}a\not \in A\Rightarrow a\in X\Rightarrow E-A\subset X$

7

7a

Se $A\subset B$, então, $B\cap (A\cup C)=(B\cap C)\cup A$, para todo conjunto C.

Resolução

• $a\in B\cap (A\cup C)\Rightarrow a\in B{\mbox{ e }}(a\in A{\mbox{ ou }}a\in C)\Rightarrow (a\in B{\mbox{ e }}a\in A){\mbox{ ou }}(a\in B{\mbox{ e }}a\in C)\Rightarrow a\in B\cap C{\mbox{ ou }}$

${\mbox{ ou }}a\in A\cap B\Rightarrow a\in (B\cap C)\cup A,{\mbox{ pois }}A\subset B\Rightarrow A\cap B=A.{\mbox{ Logo }}B\cap (A\cup C)\subset (B\cap C)\cup A$.

• $a\in (B\cap C)\cup A\Rightarrow (a\in B{\mbox{ e }}a\in C){\mbox{ ou }}a\in A,{\mbox{ como }}A\subset B,A\cap B=A\Rightarrow (a\in B{\mbox{ e }}a\in C){\mbox{ ou }}$

${\mbox{ ou }}(a\in B{\mbox{ e }}a\in A)\Rightarrow a\in B{\mbox{ e }}(a\in C{\mbox{ ou }}a\in A)\Rightarrow a\in B\cap (C\cup A).{\mbox{ Logo }}(B\cap C)\cup A\subset B\cap (A\cup C)$.

7b

Se existir C de modo que a igualdade $B\cap (A\cup C)=(B\cap C)\cup A$ seja satisfeita, então $A\subset B$

Resolução

Tome $x\in A\Rightarrow x\in (B\cap C)\cup A\subset B\cap (A\cup C)\Rightarrow x\in B\Rightarrow A\subset B$

8

Prove que $A=B\Leftrightarrow (A\cap \complement B)\cup (\complement A\cap B)=\varnothing$.

Resolução

• ${\mbox{ Tome }}a\in A\subset B\Rightarrow a\in B\Rightarrow a\not \in \complement B\Rightarrow A\cap \complement B=\varnothing .$
• ${\mbox{ Tome }}a\in B\subset A\Rightarrow a\in A\Rightarrow a\not \in \complement A\Rightarrow B\cap \complement A=\varnothing .$
• $(A\cap \complement B)\cup (\complement A\cap B)=\varnothing \Rightarrow A\cap \complement B=\varnothing {\mbox{ e }}\complement A\cap B=\varnothing .$
  • ${\mbox{ Tome }}a\not \in A\Rightarrow a\in \complement A{\mbox{ como }}\complement A\cap B=\varnothing \Rightarrow a\not \in B\Rightarrow B\subset A.$
  • ${\mbox{ Tome }}a\not \in B\Rightarrow a\in \complement B{\mbox{ como }}\complement B\cap A=\varnothing \Rightarrow a\not \in A\Rightarrow A\subset B.$