Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
Prove que X=A∪B{\displaystyle X=A\cup B}
Vamos provar que X⊂A∪B{\displaystyle X\subset A\cup B}
Vamos provar que A∪B⊂X{\displaystyle A\cup B\subset X}
Enuncie e demonstre um resultado análogo ao anterior, caracterizando A∩B{\displaystyle A\cap B} : Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
Prove que X=A∩B{\displaystyle X=A\cap B} .
Vamos provar que X⊃A∩B{\displaystyle X\supset A\cap B}
Vamos provar que A∩B⊃X{\displaystyle A\cap B\supset X}
Sejam A,B⊂E{\displaystyle A,B\subset E} . Prove que A∩B=∅⇔A⊂E−B{\displaystyle A\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset E-B} .
Sejam A,B⊂E{\displaystyle A,B\subset E} . Prove que A∪B=E⇔E−A⊂B{\displaystyle A\cup B=E\Leftrightarrow E-A\subset B}
Dados A,B⊂E{\displaystyle A,B\subset E} , prove que A⊂B⇔A∩E−B=∅{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow A\cap E-B=\varnothing } .
Dê exemplos dos conjuntos A,B,C tais que (A∪B)∩C≠A∪(B∩C){\displaystyle (A\cup B)\cap C\neq A\cup (B\cap C)} .
Sejam A=2N,B=4N,C=8N{\displaystyle A=2\mathbb {N} ,B=4\mathbb {N} ,C=8\mathbb {N} } ;
Mas A≠C{\displaystyle A\neq C}
Se A,X⊂E{\displaystyle A,X\subset E} são tais que A∩X=∅ e A∪X=E{\displaystyle A\cap X=\varnothing {\mbox{ e }}A\cup X=E} , prove que X=E−A{\displaystyle X=E-A} .
Se A⊂B{\displaystyle A\subset B} , então, B∩(A∪C)=(B∩C)∪A{\displaystyle B\cap (A\cup C)=(B\cap C)\cup A} , para todo conjunto C.
ou a∈A∩B⇒a∈(B∩C)∪A, pois A⊂B⇒A∩B=A. Logo B∩(A∪C)⊂(B∩C)∪A{\displaystyle {\mbox{ ou }}a\in A\cap B\Rightarrow a\in (B\cap C)\cup A,{\mbox{ pois }}A\subset B\Rightarrow A\cap B=A.{\mbox{ Logo }}B\cap (A\cup C)\subset (B\cap C)\cup A} .
ou (a∈B e a∈A)⇒a∈B e (a∈C ou a∈A)⇒a∈B∩(C∪A). Logo (B∩C)∪A⊂B∩(A∪C){\displaystyle {\mbox{ ou }}(a\in B{\mbox{ e }}a\in A)\Rightarrow a\in B{\mbox{ e }}(a\in C{\mbox{ ou }}a\in A)\Rightarrow a\in B\cap (C\cup A).{\mbox{ Logo }}(B\cap C)\cup A\subset B\cap (A\cup C)} .
Se existir C de modo que a igualdade B∩(A∪C)=(B∩C)∪A{\displaystyle B\cap (A\cup C)=(B\cap C)\cup A} seja satisfeita, então A⊂B{\displaystyle A\subset B}
Tome x∈A⇒x∈(B∩C)∪A⊂B∩(A∪C)⇒x∈B⇒A⊂B{\displaystyle x\in A\Rightarrow x\in (B\cap C)\cup A\subset B\cap (A\cup C)\Rightarrow x\in B\Rightarrow A\subset B}
Prove que A=B⇔(A∩∁B)∪(∁A∩B)=∅{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\cap \complement B)\cup (\complement A\cap B)=\varnothing } .