Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Conjuntos e Funções/9-16

Prove que  .

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  •  


 

  •  
     

Seja  . Prove que  . Examine a validez de um resultado análogo com  .

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  • Tome  
  • Tome  

Portanto B = C

Prove que  

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  • Tome  


 

  • Tome  


 

Prove que  

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  • Tome  


 

  • Tome  


 

Prove que  

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  • Tome  


 

  • Tome  


 

Prove que  

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  • Tome  

Dada a função  . Prove que se tem   sejam quais forem os subconjuntos X e Y de A.

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Dada a função  . Mostre que se f for injetiva então   para quaisquer X, Y contidas em A.

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Tome    . A principio nada impede que   mas f é injetiva, dados  

Mostre que a função   é injetiva  

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  •  


 
 

  • Tome  


 . A principio nada impede que   mas f é injetiva, dados  

  • Suponha que toda função f não seja injetiva, mas que  , assim   Tome  


 . Mas nada impede que   como f não é injetiva, dados   que é um absurdo. Portanto foi um absurdo supor que toda f não será injetiva.

Dada a função , prove que  

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Tome   e f é definida para todos os elemento de A, em particular para os elementos de X, logo  . Como  
 

Dada a função , prove que f é injetiva  

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  •  , mas podem existir  . Porem como a função f é injetiva, isso não ocorre, pois  . Logo  
  • Suponha que f não é injetiva, como  
      que é um absurdo, logo f é injetiva.

Dada   prove que para todo   tem-se que  

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  • Definamos os conjuntos  
  •  

Dada   prove que f é sobrejetiva  

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Vamos mostrar que  , primeiro vamos garantir que exista o elemento que precisamos.

  • Definamos os conjuntos  
  • Tome   Como f é sobrejetiva,   Como f é definida para todo   Portanto  


Vamos mostrar que f é sobrejetiva, isto é,

  • Tome Z = B, logo   logo f é sobrejetiva.

Dada uma família de conjuntos  , seja X um conjunto com as seguintes propriedades:

  •   tem -se  ;
  • se   então  .

Prove que, nessas condições, tem-se  

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