Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Lista1

1.1

Mostrar que $\mathbb {R} ^{n}$ é um espaço vetorial.

Resolução

• $u+v=(u_{1},...,u_{n})+(v_{1},...,v_{n})=(u_{1}+v_{1},...,u_{n}+v_{n})=_{1}(v_{1}+u_{1},...,v_{n}+u_{n})=(v_{1},...,v_{n})+(u_{1},...,u_{n})=v+u,\forall u,v\in \mathbb {R} ^{n},[_{1}\;pois\;\mathbb {R}$ é comutativo], onde a adição é comutativa.
• $u+(v+w)=(u_{1},...,u_{n})+((v_{1},...,v_{n})+(w_{1},...,w_{n}))=(u_{1},...,u_{n})+(v_{1}+w_{1},...,v_{n}+w_{n})=(u_{1}+(v_{1}+w_{1}),...,u_{n}+(v_{n}+w_{n}))=_{1}((u_{1}+v_{1})+w_{1},...,(u_{n}+v_{n})+w_{n})=\;$ $=(u_{1}+v_{1},...,u_{n}+v_{n})+(w_{1},...,w_{n})=((u_{1},...,u_{n})+(v_{1},...,v_{n}))+(w_{1},...,w_{n})=(u+v)+w,\forall u,v,w\in \mathbb {R} ^{n}$
• $u+v=u\Rightarrow (u_{1},...,u_{n})+(v_{1},...,v_{n})=(u_{1},...,u_{n})\Rightarrow (u_{1}+v_{1},...,u_{n}+v_{n})=(u_{1},...,u_{n})\Rightarrow v_{i}=u_{i}-u_{i}\Rightarrow v_{i}=0,\forall u,v\in \mathbb {R} ^{n},0\leq i\leq n$. A vetor nulo (0,0,...,0) é o elemento neutro da adição.
• $u+v=0\Rightarrow (u_{1},...,u_{n})+(v_{1},...,v_{n})=0\Rightarrow (u_{1}+v_{1},...,u_{n}+v_{n})=0\Rightarrow v_{i}=-u_{i},\forall u,v\in \mathbb {R} ^{n},0\leq i\leq n$. Todo vetor têm uma vetor inverso aditiva.
• $cu=u\Rightarrow c(u_{1},...,u_{n})=(u_{1},...,u_{n})\Rightarrow (cu_{1},...,cu_{n})=(u_{1},...,u_{n})\Rightarrow cu_{i}-u_{i}=0\Rightarrow (c-1)u_{i}=0\Rightarrow c-1=0\Rightarrow c=1,\forall u\in \mathbb {R} ^{n},0\leq ile1$. Logo $1u=u,\forall u\in \mathbb {R} ^{n}$.
• $(bc)u=bc(u_{1},...,u_{n})=(bcu_{1},...,bcu_{n})=b(cu_{1},...,cu_{n})=b(c(u_{1},...,u_{n}))=b(cu),\forall u\in \mathbb {R} ^{n},\forall b,c\in \mathbb {R}$.
• $c(u+v)=c((u_{1},...,u_{n})+(v_{1},...,v_{n}))=c(u_{1}+v_{1},...,u_{n}+v_{n})=(c(u_{1}+v_{1}),...,c(u_{n}+v_{n}))=(cu_{1}+cv_{1},...,cu_{n}+cv_{n})=(cu_{1},...,cu_{n})+(cv_{1},...+cv_{n})=c(u_{1},...,u_{n})+\;$ $+c(v_{1},...+v_{n}),\forall u,v\in \mathbb {R} ^{n},\forall c\in \mathbb {R}$.
• $(b+c)u=(b+c)(u_{1},...,u_{n})=((b+c)u_{1},...,(b+c)u_{n})=(bu_{1}+cu_{1},...,bu_{n}+cu_{n})=(bu_{1},...,bu_{n})+(cu_{1}...,cu_{n})=b(u_{1},...,u_{n})+c(u_{1}...,u_{n})=bu+cu,\forall u\in \mathbb {R} ^{n},\forall b,c\in \mathbb {R}$.

1.2

Mostrar que $E=\{(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)\}\;$ é uma base de $\mathbb {R} ^{n}$.

Resolução

• Tome $x\in \mathbb {R} ^{n},x=(x_{1},...,x_{n})=(x_{1},0,...,0)+(0,x_{2},0,...,0)+...+(0,...,0,x_{n-1},0)+(0,...,0,x_{n})=x_{1}(1,0,...,0)+x_{2}(0,1,0,...,0)+...+x_{n-1(0,...,0,1},0)+x_{n}(0,...,0,1)\Rightarrow$ $\Rightarrow$ E é uma base de $\mathbb {R} ^{n}$ e as coordenadas de x na base E é $(x_{1},...,x_{n})\;$.

1.3

Seja $A=(A_{ij})\in M(m\times n),T(x)=Ax^{t}$. Mostre que $T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ é linear.

Resolução

• $T(x+y)=T(x_{1}+y_{1},...,x_{n}+y_{n})=A(x_{1}+y_{1},...,x_{n}+y_{n})^{t}=[\sum _{i=1}^{n}A_{1i}(x_{i}+y_{i}),...\;,\sum _{i=1}^{n}A_{ni}(x_{i}+y_{i})]^{t}=[\sum _{i=1}^{n}A_{1i}x_{i}+A_{1i}y_{i},...\;,\sum _{i=1}^{n}A_{ni}x_{i}+A_{ni}y_{i}]^{t}=$ $=[\sum _{i=1}^{n}A_{1i}x_{i}+\sum _{i=1}^{n}A_{1i}y_{i},...\;,\sum _{i=1}^{n}A_{ni}x_{i}+\sum _{i=1}^{n}A_{ni}y_{i}]^{t}=[\sum _{i=1}^{n}A_{1i}x_{i},...\;,\sum _{i=1}^{n}A_{ni}x_{i}]^{t}+[\sum _{i=1}^{n}A_{1i}y_{i},...\;,\sum _{i=1}^{n}A_{ni}y_{i}]^{t}=A(x_{1},...,x_{n})^{t}+A(y_{1},...,y_{n})^{t}=T(x_{1},...,x_{n})+T(y_{1},..,y_{n})=$ $=T(x)+T(y),\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$.
• $T(cx)=T(cx_{1},...,cx_{n})=A(cx_{1},...,cx_{n})^{t}=[\sum _{i=1}^{n}A_{1i}cx_{i},...\;,\sum _{i=1}^{n}A_{ni}cx_{i}]^{t}=[c\sum _{i=1}^{n}A_{1i}x_{i},...\;,c\sum _{i=1}^{n}A_{ni}x_{i}]^{t}=c[\sum _{i=1}^{n}A_{1i}x_{i},...\;,\sum _{i=1}^{n}A_{ni}x_{i}]^{t}=cA(x_{1},...,x_{n})^{t}=cT(x_{1},...,x_{n})$ $=cT(x),\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\forall c\in \mathbb {R}$.

1.4

Dado $T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ linear, mostre que existe uma única matriz $A=(A_{ij})\in M(m\times n),onde\;T(x)=Ax^{t}$

Resolução

• Suponha que existem duas matrizes $A=(A_{ij})\;e\;B=(B_{ij})$ tal que $T(x)=Ax^{t}=Bx^{t}\Rightarrow A(x_{1},...,x_{n})^{t}=B(x_{1},...,x_{n})^{t}\Rightarrow$ $\Rightarrow [\sum _{i=1}^{n}A_{1i}x_{i},...\;,\sum _{i=1}^{n}A_{ni}x_{i}]^{t}=[\sum _{i=1}^{n}B_{1i}x_{i},...\;,\sum _{i=1}^{n}B_{ni}x_{i}]^{t}\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}A_{1i}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}B_{1i}x_{i};...;\sum _{i=1}^{n}A_{ni}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}B_{ni}x_{i}$. Como isso é verdade para qualquer $x\in \mathbb {R} ^{n}$, tomando os vetores da base canônica, vemos facilmente que $A_{ij}=B_{ij}\Rightarrow A=B$.

1.5

Seja a norma do máximo definida por $\left\|x\right\|_{M}=max\{|x_{1}|,...,|x_{n}|\}$ e a norma da soma definida por $\left\|x\right\|_{S}=|x_{1}|+...+|x_{n}|$. Mostre que elas são normas em $\mathbb {R} ^{n}$.

Resolução

• Norma do máximo
  • $\left\|x\right\|_{M}=max\{|x_{1}|,...,|x_{n}|\}=_{1}|x_{i}|\geq 0,\forall x\in \mathbb {R} ^{n},[_{1}$ para algum $1\leq i\leq n]$.
  • $\left\|cx\right\|_{M}=max\{|cx_{1}|,...,|cx_{n}|\}=_{1}|cx_{i}|=|c||x_{i}|=|c|\left\|x\right\|_{M},\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\forall c\in \mathbb {R} ,[_{1}$ para algum $1\leq i\leq n]$.
  • $\left\|x+y\right\|_{M}=max\{|x_{1}+y_{1}|,...,|x_{n}+y_{n}|\}=_{1}|x_{i}+y_{i}|\leq |x_{i}|+|y_{i}|\leq |x_{j}|+|y_{k}|=_{1}\left\|x\right\|_{M}+\left\|y\right\|_{M},\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n},[_{1}$ para algum $1\leq i,j,k\leq n]$.
• Norma da soma
  • $\left\|x\right\|_{S}=|x_{1}|+...+|x_{n}|\geq 0,\forall x\in \mathbb {R} ^{n}$.
  • $\left\|cx\right\|_{S}=|cx_{1}|+...+|cx_{n}|=|c||x_{1}|+...+|c||x_{n}|=|c|(|x_{1}|+...+|x_{n}|)=|c|\left\|x\right\|_{S},\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\forall c\in \mathbb {R}$.
  • $\left\|x+y\right\|_{M}=|x_{1}+y_{1}|+...+|x_{n}+y_{n}|\leq |x_{1}|+|y_{1}|+...+|x_{n}|+|y_{n}|=|x_{1}|+...+|x_{n}|+|y_{1}|+...+|y_{n}|=\left\|x\right\|_{S}+\left\|y\right\|_{S},\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$.

1.6

Mostre que a norma ruclidiana, a norma do máximo e a norma da soma são equivalentes.

Resolução

• $\left\|x\right\|_{M}\equiv \left\|x\right\|_{S}$
  • $\left\|x\right\|_{M}=max\{|x_{1}|,...,|x_{n}|\}=_{1}|x_{i}|\leq |x_{1}|+...+|x_{n}|=\left\|x\right\|_{S}\leq |x_{i}|+...+|x_{i}|=n|x_{i}|=n\left\|x\right\|_{M},\forall x\in \mathbb {R} ^{n},[_{1}$ para algum $0\leq i\leq n]$
  • Portanto $\left\|x\right\|_{M}\leq \left\|x\right\|_{S}\leq n\left\|x\right\|_{M},forallx\in \mathbb {R} ^{n}$
• $\left\|x\right\|_{M}\equiv \left\|x\right\|$
  • $\left\|x\right\|_{M}=max\{|x_{1}|,...,|x_{n}|\}=_{1}|x_{i}|={\sqrt {x_{i}^{2}}}\leq {\sqrt {x_{1}^{2}+...+x_{i}^{2}+...+x_{n}^{2}}}=\left\|x\right\|\leq {\sqrt {x_{i}^{2}+...+x_{i}^{2}+...+x_{i}^{2}}}={\sqrt {nx_{i}^{2}}}\leq n{\sqrt {x_{i}^{2}}}=$ $=n|x_{i}|=n\left\|x\right\|_{M},\forall x\in \mathbb {R} ^{n},[_{1}$ para algum $0\leq i\leq n]$.
  • Portanto $\left\|x\right\|_{M}\leq \left\|x\right\|\leq n\left\|x\right\|_{M},\forall x\in \mathbb {R} ^{n},[_{1}$ para algum $0\leq i\leq n]$.

1.7

$|\left\|x\right\|-\left\|y\right\||\leq \left\|x-y\right\|,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$

Resolução

• $\left\|x-y+y\right\|\leq \left\|x-y\right\|+\left\|y\right\|\Rightarrow \left\|x\right\|-\left\|y\right\|\leq \left\|x-y\right\|,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$.
• $\left\|y\right\|-\left\|x-y\right\|\leq \left\|y-(y-x)\right\|\Rightarrow -\left\|x-y\right\|\leq \left\|x\right\|-\left\|y\right\|,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$.

1.8

Mostre que a união finita de fechados é fechado.

Resolução

• Seja uma família finita qualquer de fechados $(F_{i})_{1\leq i\leq p}$. Seja $F=\cup F_{i}$.
• $F^{C}=(\cup F_{i})^{C}=\cap F_{i}^{C}$ é aberto. Logo F é fechado.

1.9

Mostre que a intersecção de fechados é fechado.

Resolução

• Seja uma família finita qualquer de fechados $(F_{i})_{1\leq i\leq p}$. Seja $F=\cap F_{i}$.
• $F^{C}=(\cap F_{i})^{C}=\cup F_{i}^{C}$ é aberto. Logo F é fechado.