Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais/1-8

1Editar

Dados   num corpo K, sendo b e d diferentes de zero, prove:

  •  
  •  

ResoluçãoEditar

  •  
  •  

2Editar

Dado   num corpo K, põe-se, por definição,   e, se   Sejam quais forem   prove :

  •  
  •  

ResoluçãoEditar

  •  
  •  

3Editar

Se   num corpo K, prove que, dados   tais que  

ResoluçãoEditar

Por indução sobre n,

  • vamos mostrar válido para n = 1:  
  • Supor válido para n = k e mostrar válido para n=k+1:
    •  . Como   Logo    

4Editar

Sejam K, L corpos. Uma função   chama-se um homomorfismo quando se tem   e  , quaisquer que sejam  .

  • Dado um homomorfismo  , prove que  
  • Prove também que, ou   ou então   e f é injetivo.

ResoluçãoEditar

  • Pelo homomorfismo de f, dado    , ou de forma mais simples,  
  • Suponhamos primeiro que   e pelo homomorfismo de f, logo    , isto é,  .
    • Vamos tomar agora   e pelo homomorfismo de f, temos que   Como L é um corpo, logo  
    • Vamos provar por indução que  .
      • Vamos mostrar ser válido para n = 1:  .
      • Vamos supor válido para n=t+1: Assim  . Adicionando      
    • Vamos mostrar que f é injetiva, tome   é injetiva.

5Editar

Seja   um homomorfismo, isto é, quando se tem   e  , quaisquer que sejam  . Prove que, ou   ou então  .

ResoluçãoEditar

  • Pelo homomorfismo de f, dado  
  • Suponhamos primeiro que   e pelo homomorfismo de f,    , isto é,  .
    • Vamos tomar agora   e pelo homomorfismo de f, temos que   Como   é um corpo, logo  
    • Vamos provar por indução que  .
      • Vamos mostrar ser válido para n = 1:  .
      • Vamos supor válido para n=t+1: Assim  . Adicionando      

6Editar

Verifique as associatividades da adição e da multiplicação em   (Observe que definindo  , f e sobrejetiva e para   quaisquer, valem   As associatividades de   implicam nas de  

ResoluçãoEditar

  • Primeiro vamos mostrar a associatividade de   em relação à adição, isto é, temos que mostrar que    . Assim tomemos   pela propA,   pela propA,   pela associatividade de   pela propA,   pela propA.
  • Agora vamos mostrar a associatividade de   em relação à multiplicação, isto é, temos que mostrar que    . Assim tomemos   pela propB,   pela propB,   pela associatividade de   pela propB,   pela propB.


7Editar

Seja p um número natural primo. Para cada inteiro m, indiquemos com   o resto da divisão de m por p. No conjunto   definamos duas operações: uma adição   e uma multiplicação   pondo  

  • Prove que a função   definida por   cumpre  
  • Conclua que   são comutativas, associativas, vale a distributividade, existem 0 e 1.
  • Observe que dados  
  • Conclua que   é um corpo.

ResoluçãoEditar

  • Ao dividirmos m por p, coloquemos o quociente como   e o resto como  . Analogamente ao dividirmos n por p, coloquemos o quociente como   e o resto como  . Assim  . Logo   é o resto da divisão de  . Portanto  
    • Analogamente   Logo   é o resto da divisão de  . Portanto  
  • Temos que  . Logo cumpre  .
  • Temos que  . Logo cumpre  .
  • Vamos mostrar que   são comutativas:
    • Se a = b nos reais então     é comutativo.
    • Analogamente, dados   é comutativo.
  • Vamos mostrar que   são associativo:
    • Se a = b nos reais então     é associativo.
    • Analogamente, dados     é associativas.
  • Vamos mostrar que   são distributivas:
    • Se a = b nos reais então     são distributivos à esquerda.
    • Analogamente, dados     são distributivos à direita.
  • Vamos mostrar que   possuem 0 e 1.
    • Se a = b nos reais então   é o zero de  .
    • Analogamente, dado   é a unidade multiplicativa de  .
  • Vamos mostrar que dados  
    •   Como   é primo, logo m,n não possuem em sua fatoração um p, assim m = 0 ou n = 0.
  •   é um corpo.

8Editar

Seja K um conjunto onde são válidos todos os axiomas de corpo, salvo a existência de inverso multiplicativo.

  • Dado   em K, prove que a função   definida por   e uma bijeção se, e somente se, a possui inverso.
  • Mostre que f e injetiva se, e somente se, vale a lei do corte para a.
  • Conclua que, se K é finito, a lei do corte é equivalente à existência de inverso para cada elemento não-nulo de K.

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