Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais/17-24

17Editar

Num corpo ordenado, se   são positivos, prove que   Enuncie e demonstre desigualdades análogas às dos exercícios 15 e 16, com a em vez de 1.

Resolução não está prontaEditar

18Editar

Sejam   elementos de um corpo ordenado K, onde b e d são positivos. Prove que   está compreendido entre o menor e o maior dos elementos   Generalize: Mostre que   está compreendido entre o menor e o maior dos elementos   desde que   sejam todos positivos.

Resolução não está prontaEditar

19Editar

Dados   num corpo ordenado K, com   prove que  

Resolução não está prontaEditar

20Editar

Prove por indução que, dados   num corpo ordenado K, tem-se   e  

ResoluçãoEditar

  • Vamos provar por indução que  
    • Vamos mostrar ser válido para n = 1:  
    • Suponha ser válido para n = t e vamos mostrar ser válido para n=t+1:   em ambos os membros temos que   Pela desigualdade triangular  
  • Vamos provar por indução que  
    • Vamos mostrar ser válido para n = 1:  
    • Suponha ser válido para n = t e vamos mostrar ser válido para n=t+1:   em ambos os membros temos que   Pela desigualdade triangular  

21Editar

Seja K um corpo ordenado. Exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de intervalos:

21aEditar

Seja X, o conjunto dos   tais que  

ResoluçãoEditar

  • Por definição:  
  •   .
  •   .
  •     .
  • Portanto  

21bEditar

o conjunto dos   tais que  ;

ResoluçãoEditar

  • Por definição:  
  •  
  •  
  •  
  •    

21cEditar

o conjunto dos   tais que  

ResoluçãoEditar

  •  

21dEditar

o conjunto dos   tais que  

Resolução não está prontaEditar

21eEditar

o conjunto dos   tais que  

Resolução não está prontaEditar

22Editar

Prove que, para todo x num corpo ordenado K, tem-se

  •  
  •  

Resolução não está prontaEditar

23Editar

Dados   num corpo ordenado K, prove que  . Conclua que  

ResoluçãoEditar

  • Pela desigualdade triângular,  
    • Como  
  • Pela desigualdade triângular,  
    • Como  
  • Assim  .

24Editar

Prove que, num corpo ordenado K, as seguintes afirmações são equivalentes:

  • K é arquimediano;
  •   é ilimitado superior e inferiormente;
  •   é ilimitado superior e inferiormente;

Resolução está prontaEditar

K ser arquimediano implica que o conjunto dos naturais pertencente a K não ser limitado superiormente.

Como o conjunto dos naturais é infinitos implicaria que os inteiros em K também o seriam, isso porque podemos estabelecer um F: A --> B, tal que (A = Conjunto dos naturais e B = conjunto dos Inteiros) F converteria números pares a números positivos em Z(inteiros) e ímpares em negativos em Z. Por conseguinte, se N é ilimitado Z também o seria pois os negativos e positivo nele contidos seriam infinitos. Então se Z é ilimitado N também é.

Sendo Q ilimitado implicaria que os inteiros também seriam, isso porque podemos estabelecer uma outra função: F: B --> C. De tal forma, onde os (P)números positivos e negativos pertencentes a Z compõem o numerador e os positivos o denominador(Q), (P/Q) isso geraria infinitas frações pertencentes a Q. Logo Q é ilimitado e por Q ser ilimitado Z também é.