Num corpo ordenado, se
a
e
a
+
x
{\displaystyle a{\mbox{ e }}a+x}
(
a
+
x
)
n
≥
a
n
+
n
⋅
a
n
−
1
⋅
x
.
{\displaystyle (a+x)^{n}\geq a^{n}+n\cdot a^{n-1}\cdot x.}
editar
Sejam
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
a
+
c
b
+
d
{\displaystyle {a+c \over b+d}}
a
b
e
c
d
.
{\displaystyle {a \over b}{\mbox{ e }}{c \over d}.}
a
1
+
.
.
.
+
a
n
b
1
+
.
.
.
+
b
n
{\displaystyle {a_{1}+...+a_{n} \over b_{1}+...+b_{n}}}
a
1
b
1
,
.
.
.
,
a
n
b
n
,
{\displaystyle {a_{1} \over b_{1}},...,{a_{n} \over b_{n}},}
b
1
,
.
.
.
,
b
n
{\displaystyle b_{1},...,b_{n}}
editar
Prove por indução que, dados
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}
|
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
|
≤
|
x
1
|
+
|
x
2
|
+
.
.
.
+
|
x
n
|
{\displaystyle |x_{1}+x_{2}+...+x_{n}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{n}|}
|
x
1
⋅
x
2
⋅
.
.
.
⋅
x
n
|
≤
|
x
1
|
⋅
|
x
2
|
⋅
.
.
.
⋅
|
x
n
|
{\displaystyle |x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}|\leq |x_{1}|\cdot |x_{2}|\cdot ...\cdot |x_{n}|}
Vamos provar por indução que
|
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
|
≤
|
x
1
|
+
|
x
2
|
+
.
.
.
+
|
x
n
|
.
{\displaystyle |x_{1}+x_{2}+...+x_{n}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{n}|.}
Vamos mostrar ser válido para n = 1:
|
x
1
|
=
|
x
1
|
⇒
|
x
1
|
≤
|
x
1
|
{\displaystyle |x_{1}|=|x_{1}|\Rightarrow |x_{1}|\leq |x_{1}|}
Suponha ser válido para n = t e vamos mostrar ser válido para n=t+1:
|
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
t
|
≤
|
x
1
|
+
|
x
2
|
+
.
.
.
+
|
x
t
|
,
somando
|
x
t
+
1
|
{\displaystyle |x_{1}+x_{2}+...+x_{t}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{t}|,{\mbox{ somando }}|x_{t+1}|}
|
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
t
|
+
|
x
t
+
1
|
≤
|
x
1
|
+
|
x
2
|
+
.
.
.
+
|
x
t
|
+
|
x
t
+
1
|
.
{\displaystyle |x_{1}+x_{2}+...+x_{t}|+|x_{t+1}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{t}|+|x_{t+1}|.}
|
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
t
+
x
t
+
1
|
≤
|
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
t
|
+
|
x
t
+
1
|
⇒
|
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
t
+
x
t
+
1
|
≤
|
x
1
|
+
|
x
2
|
+
.
.
.
+
|
x
t
|
+
|
x
t
+
1
|
{\displaystyle |x_{1}+x_{2}+...+x_{t}+x_{t+1}|\leq |x_{1}+x_{2}+...+x_{t}|+|x_{t+1}|\Rightarrow |x_{1}+x_{2}+...+x_{t}+x_{t+1}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{t}|+|x_{t+1}|}
Vamos provar por indução que
|
x
1
⋅
x
2
⋅
.
.
.
⋅
x
n
|
≤
|
x
1
|
⋅
|
x
2
|
⋅
.
.
.
⋅
|
x
n
|
.
{\displaystyle |x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}|\leq |x_{1}|\cdot |x_{2}|\cdot ...\cdot |x_{n}|.}
Vamos mostrar ser válido para n = 1:
|
x
1
|
=
|
x
1
|
⇒
|
x
1
|
≤
|
x
1
|
{\displaystyle |x_{1}|=|x_{1}|\Rightarrow |x_{1}|\leq |x_{1}|}
Suponha ser válido para n = t e vamos mostrar ser válido para n=t+1:
|
x
1
⋅
x
2
⋅
.
.
.
⋅
x
t
|
≤
|
x
1
|
⋅
|
x
2
|
⋅
.
.
.
⋅
|
x
t
|
,
multiplicando
|
x
t
+
1
|
{\displaystyle |x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{t}|\leq |x_{1}|\cdot |x_{2}|\cdot ...\cdot |x_{t}|,{\mbox{ multiplicando }}|x_{t+1}|}
|
x
1
⋅
x
2
⋅
.
.
.
⋅
x
t
|
⋅
|
x
t
+
1
|
≤
|
x
1
|
⋅
|
x
2
|
⋅
.
.
.
⋅
|
x
t
|
⋅
|
x
t
+
1
|
.
{\displaystyle |x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{t}|\cdot |x_{t+1}|\leq |x_{1}|\cdot |x_{2}|\cdot ...\cdot |x_{t}|\cdot |x_{t+1}|.}
|
x
1
⋅
x
2
⋅
.
.
.
⋅
x
t
⋅
x
t
+
1
|
≤
|
x
1
⋅
x
2
⋅
.
.
.
⋅
x
t
|
⋅
|
x
t
+
1
|
⇒
|
x
1
⋅
x
2
⋅
.
.
.
⋅
x
t
⋅
x
t
+
1
|
≤
|
x
1
|
⋅
|
x
2
|
⋅
.
.
.
⋅
|
x
t
|
⋅
|
x
t
+
1
|
{\displaystyle |x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{t}\cdot x_{t+1}|\leq |x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{t}|\cdot |x_{t+1}|\Rightarrow |x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{t}\cdot x_{t+1}|\leq |x_{1}|\cdot |x_{2}|\cdot ...\cdot |x_{t}|\cdot |x_{t+1}|}
Seja K um corpo ordenado. Exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de intervalos:
Seja X, o conjunto dos
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
|
x
−
3
|
+
|
x
+
3
|
<
8
;
{\displaystyle |x-3|+|x+3|<8;}
Por definição:
|
x
−
3
|
=
{
x
−
3
,
s
e
x
≥
3
3
−
x
,
s
e
x
<
3
e
|
x
+
3
|
=
{
x
+
3
,
s
e
x
≥
−
3
−
x
−
3
,
s
e
x
<
−
3
,
{\displaystyle |x-3|={\begin{cases}x-3,se\;x\geq 3\\3-x,se\;x<3\end{cases}}{\mbox{ e }}|x+3|={\begin{cases}x+3,se\;x\geq -3\\-x-3,se\;x<-3\end{cases}},}
tome
x
≥
4
⇒
{
|
x
−
3
|
≥
1
|
x
+
3
|
≥
7
,
⇒
|
x
−
3
|
+
|
x
+
3
|
≥
8
{\displaystyle {\mbox{ tome }}x\geq 4\Rightarrow {\begin{cases}|x-3|\geq 1\\|x+3|\geq 7\end{cases}},\Rightarrow |x-3|+|x+3|\geq 8}
tome
x
<
−
4
⇒
{
|
x
−
3
|
≤
7
|
x
+
3
|
≤
1
⇒
|
x
−
3
|
+
|
x
+
3
|
>
8
{\displaystyle {\mbox{ tome }}x<-4\Rightarrow {\begin{cases}|x-3|\leq 7\\|x+3|\leq 1\end{cases}}\Rightarrow |x-3|+|x+3|>8}
tome
|
x
−
3
|
+
|
x
+
3
|
<
8
⇒
|
x
−
3
|
<
8
−
|
x
+
3
|
⇒
{
x
−
3
<
8
−
|
x
+
3
|
|
x
+
3
|
−
8
<
x
−
3
⇒
{
|
x
+
3
|
<
8
−
x
+
3
|
x
+
3
|
<
x
−
3
+
8
⇒
{\displaystyle {\mbox{ tome }}|x-3|+|x+3|<8\Rightarrow |x-3|<8-|x+3|\Rightarrow {\begin{cases}x-3<8-|x+3|\\|x+3|-8<x-3\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}|x+3|<8-x+3\\|x+3|<x-3+8\end{cases}}\Rightarrow }
⇒
{
x
−
11
<
x
+
3
<
11
−
x
−
x
−
5
<
x
+
3
<
x
+
5
⇒
{
2
x
<
11
−
3
−
3
−
5
<
2
x
⇒
{
x
<
4
−
4
<
x
⇒
−
4
<
x
<
4
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{cases}x-11<x+3<11-x\\-x-5<x+3<x+5\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}2x<11-3\\-3-5<2x\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}x<4\\-4<x\end{cases}}\Rightarrow -4<x<4}
Portanto
X
=
]
−
4
,
4
[
{\displaystyle X=]-4,4[}
o conjunto dos
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
|
x
2
−
2
|
≤
1
{\displaystyle |x^{2}-2|\leq 1}
Por definição:
|
x
2
−
2
|
=
{
x
2
−
2
,
s
e
x
≤
−
2
ou
x
≥
2
2
−
x
2
,
se
−
2
<
x
<
2
{\displaystyle |x^{2}-2|={\begin{cases}x^{2}-2,se\;x\leq -{\sqrt {2}}{\mbox{ ou }}x\geq {\sqrt {2}}\\2-x^{2},{\mbox{ se }}-{\sqrt {2}}<x<{\sqrt {2}}\end{cases}}}
tome
x
>
3
⇒
|
x
2
−
2
|
>
1.
{\displaystyle {\mbox{ tome }}x>{\sqrt {3}}\Rightarrow |x^{2}-2|>1.}
tome
x
<
−
3
⇒
|
x
2
−
2
|
>
1.
{\displaystyle {\mbox{ tome }}x<-{\sqrt {3}}\Rightarrow |x^{2}-2|>1.}
tome
−
1
<
x
<
1
⇒
|
2
−
x
2
|
>
1.
{\displaystyle {\mbox{ tome }}-1<x<1\Rightarrow |2-x^{2}|>1.}
tome
|
x
2
−
2
|
≤
1
⇒
−
1
≤
x
2
−
2
≤
1
⇒
1
≤
x
2
≤
3
⇒
X
=
X
1
∩
X
2
;
{
X
1
=
{
x
∈
X
;
0
≤
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
}
X
2
=
{
x
∈
X
1
;
(
x
−
3
)
(
x
+
3
)
≤
0
}
⇒
{\displaystyle {\mbox{ tome }}|x^{2}-2|\leq 1\Rightarrow -1\leq x^{2}-2\leq 1\Rightarrow 1\leq x^{2}\leq 3\Rightarrow X=X_{1}\cap X_{2};{\begin{cases}X_{1}=\{x\in X;0\leq (x-1)(x+1)\}\\X_{2}=\{x\in X_{1};(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})\leq 0\}\end{cases}}\Rightarrow }
⇒
X
=
X
1
∩
X
2
;
{
X
1
=
]
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
∞
[
X
2
=
[
−
3
,
3
]
.
Portanto
X
=
X
1
∩
X
2
=
]
−
3
,
−
1
[
∪
]
1
,
3
[
{\displaystyle \Rightarrow X=X_{1}\cap X_{2};{\begin{cases}X_{1}=]-\infty ,-1]\cup [1,\infty [\\X_{2}=[-{\sqrt {3}},{\sqrt {3}}]\end{cases}}.{\mbox{ Portanto }}X=X_{1}\cap X_{2}=]-{\sqrt {3}},-1[\cup ]1,{\sqrt {3}}[}
o conjunto dos
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
|
2
x
+
1
|
≤
1.
{\displaystyle |2x+1|\leq 1.}
−
1
≤
2
x
+
1
≤
1
⇒
−
2
≤
2
x
≤
0
⇒
−
1
≤
x
≤
0
⇒
X
=
[
−
1
,
0
]
{\displaystyle -1\leq 2x+1\leq 1\Rightarrow -2\leq 2x\leq 0\Rightarrow -1\leq x\leq 0\Rightarrow X=[-1,0]}
o conjunto dos
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
|
x
−
5
|
<
|
x
+
1
|
;
{\displaystyle |x-5|<|x+1|;}
editar
o conjunto dos
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
(
2
x
+
3
)
6
(
x
−
2
)
≥
0.
{\displaystyle (2x+3)^{6}(x-2)\geq 0.}
editar
Prove que, para todo x num corpo ordenado K, tem-se
|
x
−
1
|
+
|
x
−
2
|
≥
1.
{\displaystyle |x-1|+|x-2|\geq 1.}
|
x
−
1
|
+
|
x
−
2
|
+
|
x
−
3
|
≥
2.
{\displaystyle |x-1|+|x-2|+|x-3|\geq 2.}
editar
Prove que, num corpo ordenado K, as seguintes afirmações são equivalentes:
K é arquimediano;
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
K ser arquimediano implica que o conjunto dos naturais pertencente a K não ser limitado superiormente.
Como o conjunto dos naturais é infinitos implicaria que os inteiros em K também o seriam, isso porque podemos estabelecer um F: A --> B, tal que (A = Conjunto dos naturais e B = conjunto dos Inteiros) F converteria números pares a números positivos em Z(inteiros) e ímpares em negativos em Z. Por conseguinte, se N é ilimitado Z também o seria pois os negativos e positivo nele contidos seriam infinitos. Então se Z é ilimitado N também é.
Sendo Q ilimitado implicaria que os inteiros também seriam, isso porque podemos estabelecer uma outra função: F: B --> C. De tal forma, onde os (P)números positivos e negativos pertencentes a Z compõem o numerador e os positivos o denominador(Q), (P/Q) isso geraria infinitas frações pertencentes a Q. Logo Q é ilimitado e por Q ser ilimitado Z também é.
![{\displaystyle X=]-4,4[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0467ee48581b13037ed09a02b6f545294abc93d)
![{\displaystyle \Rightarrow X=X_{1}\cap X_{2};{\begin{cases}X_{1}=]-\infty ,-1]\cup [1,\infty [\\X_{2}=[-{\sqrt {3}},{\sqrt {3}}]\end{cases}}.{\mbox{ Portanto }}X=X_{1}\cap X_{2}=]-{\sqrt {3}},-1[\cup ]1,{\sqrt {3}}[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cbc76a58296983beab5176562b67c839e88073)
![{\displaystyle -1\leq 2x+1\leq 1\Rightarrow -2\leq 2x\leq 0\Rightarrow -1\leq x\leq 0\Rightarrow X=[-1,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf3776782129bb45ba3a55cefaa2fd70d8da8c3)
