Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais/25-32

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Prove que um corpo ordenado K é arquimediano se, e somente se, $\forall \;\epsilon >0\in K,\exists \;n\in \mathbb {N} ;{1 \over 2^{n}}<\epsilon$

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Seja $a>1\;$ num corpo arquimediano K. Considere a função $f:\mathbb {Z} \rightarrow K,$ definida por $f(n)=a^{n}$. Prove que as seguintes afirmações:

• $f(\mathbb {Z} )$ não é limitado superiormente;
• $\inf f(\mathbb {Z} )=0.$

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Sejam $a\in \mathbb {Q} -\{0\},x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} .$ Prove que $ax,a+x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} .$ Dê exemplos de dois números irracionais x e y tais que $x+y,xy\in \mathbb {Q}$

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Sejam $a,b,c,d\in \mathbb {Q} .$ Prove que $a+b{\sqrt {2}}=c+d{\sqrt {2}}\Leftrightarrow a=c,b=d.$

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Seja $X={\bigg \{}{1 \over n};n\in \mathbb {N} {\bigg \}}$. Prove que $\inf X=0$

Resolução

• Vamos verificar que X é decrescente. Tome $t<t+1,{\mbox{ sendo }}t,t+1\in \mathbb {N} ,\Rightarrow t(t+1)>1\Rightarrow {t \over t(t+1)}<{t+1 \over t(t+1)}\Rightarrow {1 \over t+1}<{1 \over t}.$
• Vamos verificar que $X\subset [0,1]$. Dado $n=1,{1 \over 1}=1$ e como X é decrescente, logo $x\leq 1,\forall x\in X.$
• Vamos verificar que 0 é cota inferior: Dado $n>0,{\mbox{ como }}1>0\Rightarrow 1=n\cdot {1 \over n}>0\Rightarrow {1 \over n}>0$, logo 0 é cota inferior.
• Vamos verificar $\inf X=0,$, isto é, que 0 é a maior das cotas inferiores de X. Dado $y\in \mathbb {R} ;0<y<1,$ devemos mostrar que $\exists t\in X;0<t<y.$ Assim tomemos $x={1 \over y};[[x]]=n_{x},$, isto é, $n_{x}\;$ é o maior natural que é menor que x, logo $x<n+1{\mbox{ sendo }}x,n>0,\Rightarrow x(n+1)>1\Rightarrow$

$\Rightarrow {x \over x(n+1)}<{n+1 \over x(n+1)}\Rightarrow 0<t={1 \over n+1}<{1 \over x}=y.$ Logo nenhum elemento maior que 0 é cota inferior de X, Portanto $\inf X=0.$