Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais/33-40

33Editar

Sejam   conjuntos não-vazios limitados de números reais. Prove que  

ResoluçãoEditar

  • Pela definição de ínfimo,  
  • Suponha (por contradição) que    , mas isso é um absurdo, pois   Portanto  
  • Pela definição de supremo,  
  • Suponha (por contradição) que   como    , mas isso é um absurdo, pois   Portanto  

34Editar

Sejam A, B conjuntos não-vazios de números reais, tais que   Prove que   Prove que   se, e somente se,   dado, podem-se obter   tais que  .

Resolução não está prontaEditar

  • Suponha (por contradição) que   Tome   Pela definição de ínfimo e supremo temos que     que é um absurdo, portanto  
  • Vamos provar que   se, e somente se,   dado, podem-se obter   tais que  .
    • Suponhamos primeiro que   Tome   pela definição de supremo e ínfimo temos que   e  
    • Temos que  
    • Suponha que   como   Dado   podemos obter   tais que     mas isso é um absurdo, pois deveria ocorrer que  
    • Portanto  

35Editar

Dado   não-vazio, limitado inferiormente, seja   Prove que -A e limitado superiormente e que  

Resolução não está prontaEditar

36Editar

Resolução não está prontaEditar

37Editar

Resolução não está prontaEditar

38Editar

Resolução não está prontaEditar

39Editar

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40Editar

Resolução não está prontaEditar